Вычислите площадь фигуры, которая ограничена линиями: y=6+x-x^2 и y=6-2x.

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры математика 11 класс вычисление площади ограниченные линии графики функций y=6+x-x^2 y=6-2x интегралы геометрия анализ функций пересечение графиков области под графиком решение задач по математике Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6 + x - x^2 и y = 6 - 2x, нам нужно сначала определить точки пересечения этих линий, а затем вычислить определенный интеграл, который представляет собой площадь между этими кривыми.

1. Найдите точки пересечения:

   Для этого приравняем уравнения функций:

   6 + x - x^2 = 6 - 2x

   Упростим уравнение:

   • Сначала вычтем 6 из обеих частей: x - x^2 = -2x
   • Перенесем все члены в одну сторону: x - x^2 + 2x = 0
   • Сложим подобные члены: 3x - x^2 = 0
   • Вынесем x за скобки: x(3 - x) = 0

   Отсюда получаем два корня: x = 0 и x = 3.

2. Вычислите площадь между кривыми:

   Площадь между двумя кривыми от x = 0 до x = 3 можно найти с помощью определенного интеграла:

   ∫ от 0 до 3 (верхняя функция - нижняя функция) dx

   В нашем случае верхняя функция - это y = 6 + x - x^2, а нижняя функция - y = 6 - 2x.

   Таким образом, подынтегральная функция будет:

   (6 + x - x^2) - (6 - 2x) = x - x^2 + 2x = 3x - x^2

   Теперь найдем интеграл:

   • Интеграл от 3x - x^2 равен: ∫ (3x - x^2) dx = (3/2)x^2 - (1/3)x^3 + C

   Подставим пределы интегрирования от 0 до 3:

   • Вычислим значение интеграла в верхнем пределе: (3/2)(3)^2 - (1/3)(3)^3 = (3/2)(9) - (1/3)(27) = 13.5 - 9 = 4.5
   • Вычислим значение интеграла в нижнем пределе: (3/2)(0)^2 - (1/3)(0)^3 = 0

   Площадь равна разности значений интеграла в верхнем и нижнем пределах: 4.5 - 0 = 4.5.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна 4.5 квадратных единиц.