Как можно найти площадь области, ограниченной графиками функций y=-x²+2 и y=x?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь области графики функций y=-x²+2 y=x нахождение площади математика 11 класс интегралы пересечение графиков область интегрирования решение задач по математике Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиками функций y = -x² + 2 и y = x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

1. Найти точки пересечения графиков.

Для этого мы приравняем функции друг к другу:

-x² + 2 = x

Переносим все в одну сторону:

-x² - x + 2 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

x² + x - 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Теперь находим корни:

x₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + 3) / 2 = 1

x₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - 3) / 2 = -2

Таким образом, точки пересечения графиков находятся в x = -2 и x = 1.

2. Найти площадь между графиками.

Площадь области, ограниченной графиками, можно найти с помощью интеграла. Мы будем интегрировать разность верхней функции и нижней функции от точки x = -2 до x = 1.

Определим, какая функция выше:

Для x = 0: y = -0² + 2 = 2 и y = 0, значит, y = -x² + 2 выше y = x.

Следовательно, мы будем интегрировать:

∫[от -2 до 1] ((-x² + 2) - x) dx

Упрощаем выражение под интегралом:

-x² - x + 2

3. Вычислить интеграл.

Теперь вычислим интеграл:

∫(-x² - x + 2) dx = -x³/3 - x²/2 + 2x

Теперь подставим пределы интегрирования:

Вычисляем на верхнем пределе (x = 1):

-1³/3 - 1²/2 + 2*1 = -1/3 - 1/2 + 2 = -1/3 - 3/6 + 12/6 = 12/6 - 4/6 = 8/6 = 4/3

Теперь на нижнем пределе (x = -2):

-(-2)³/3 - (-2)²/2 + 2*(-2) = 8/3 - 2 - 4 = 8/3 - 6/3 = 2/3

Теперь вычтем результаты:

(4/3) - (2/3) = 2/3

4. Записать окончательный ответ.

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций y = -x² + 2 и y = x, равна 2/3.

Если у вас остались вопросы по решению, не стесняйтесь спрашивать!