Как вычислить площадь, ограниченную линиями: y = x^2 и y = 2 - x^2?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь между кривыми интеграл y = x^2 y = 2 - x^2 вычисление площади математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь, ограниченную кривыми y = x^2 и y = 2 - x^2, следуем следующим шагам:

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения:
• x^2 = 2 - x^2
• 2x^2 = 2
• x^2 = 1
• x = ±1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 1.

2. Определить, какая функция выше. Для этого подставим значения x в обе функции:
• При x = 0: y = 0^2 = 0 и y = 2 - 0^2 = 2. Значит, 2 - x^2 выше.

Следовательно, на интервале от -1 до 1 кривая y = 2 - x^2 находится выше кривой y = x^2.

3. Записать интеграл для площади. Площадь S между двумя кривыми можно выразить через интеграл:

S = ∫ (верхняя функция - нижняя функция) dx от a до b, где a и b - точки пересечения.

В нашем случае:

S = ∫ (2 - x^2 - x^2) dx от -1 до 1.

Это упростится до:

S = ∫ (2 - 2x^2) dx от -1 до 1.

4. Вычислить интеграл. Найдем первообразную:
• ∫ (2 - 2x^2) dx = 2x - (2/3)x^3 + C.

Теперь подставим пределы интегрирования:

S = [2x - (2/3)x^3] от -1 до 1.

5. Подставить пределы:
• При x = 1: 2(1) - (2/3)(1^3) = 2 - (2/3) = (6/3) - (2/3) = (4/3).
• При x = -1: 2(-1) - (2/3)(-1^3) = -2 + (2/3) = (-6/3) + (2/3) = (-4/3).

Теперь вычтем значения:

S = (4/3) - (-4/3) = (4/3) + (4/3) = (8/3).

6. Ответ: Площадь, ограниченная кривыми y = x^2 и y = 2 - x^2, равна 8/3.