Как можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=5-х^2 и у=х+3?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры линии у=5-х^2 линии у=х+3 нахождение площади математика 11 класс задачи по математике Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 5 - x² и y = x + 3, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого нужно приравнять уравнения:
• 5 - x² = x + 3
2. Переносим все члены на одну сторону:
• 5 - x² - x - 3 = 0
• -x² - x + 2 = 0
• Умножим на -1:
• x² + x - 2 = 0
3. Решим это квадратное уравнение: Используем формулу корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -2.
4. Подставляем значения:
• x = (-1 ± √(1 + 8)) / 2 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.
5. Находим корни:
• x1 = (2) / 2 = 1
• x2 = (-4) / 2 = -2
6. Теперь у нас есть точки пересечения: x = -2 и x = 1.
7. Находим соответствующие значения y:
• Для x = -2: y = -2 + 3 = 1 (или y = 5 - (-2)² = 1)
• Для x = 1: y = 1 + 3 = 4 (или y = 5 - 1² = 4)
8. Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми:
• Площадь S = интеграл от -2 до 1 разность верхней функции и нижней:
• S = ∫[от -2 до 1] ((5 - x²) - (x + 3)) dx
• S = ∫[от -2 до 1] (2 - x - x²) dx
9. Теперь вычислим интеграл:
• ∫(2 - x - x²) dx = 2x - (x²/2) - (x³/3) + C
10. Подставляем пределы интегрирования:
• S = [2(1) - (1²/2) - (1³/3)] - [2(-2) - ((-2)²/2) - ((-2)³/3)]
• S = [2 - 0.5 - 0.333] - [-4 - 2 + (8/3)]
• S = [2 - 0.5 - 0.333] + [4 + 2 - (8/3)]
11. Упрощаем:
• S = 1.167 + 4 + 2 - 2.667 = 4.5

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 5 - x² и y = x + 3, равна 4.5.