Как можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=5-x^2 и y=1?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры ограниченная линия y=5-x^2 линия y=1 нахождение площади интегрирование математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=5-x^2 и прямой y=1, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривой и прямой.

Для этого приравняем уравнения:

5 - x^2 = 1

Переносим 1 на левую сторону:

5 - 1 = x^2

Таким образом, получаем:

4 = x^2

Теперь извлекаем корень:

x = ±2

Точки пересечения: (2, 1) и (-2, 1).

2. Определить область интегрирования.

Мы будем интегрировать от x = -2 до x = 2, так как именно в этих точках наши функции пересекаются.

3. Записать интеграл для нахождения площади.

Площадь фигуры, ограниченной кривой и прямой, можно найти с помощью интеграла:

Площадь = ∫ (верхняя функция - нижняя функция) dx

В нашем случае верхняя функция - это y=5-x^2, а нижняя функция - y=1. Поэтому:

Площадь = ∫ от -2 до 2 (5 - x^2 - 1) dx

Упрощаем выражение внутри интеграла:

Площадь = ∫ от -2 до 2 (4 - x^2) dx

4. Вычислить интеграл.

Теперь вычислим интеграл:

Площадь = ∫ от -2 до 2 (4 - x^2) dx = [4x - (x^3)/3] от -2 до 2

Сначала подставим верхний предел:

4(2) - (2^3)/3 = 8 - 8/3 = 24/3 - 8/3 = 16/3

Теперь подставим нижний предел:

4(-2) - ((-2)^3)/3 = -8 + 8/3 = -24/3 + 8/3 = -16/3

Теперь вычтем значения:

Площадь = (16/3) - (-16/3) = 16/3 + 16/3 = 32/3

5. Записать окончательный ответ.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=5-x^2 и y=1, равна 32/3.