Как найти площадь фигуры, ограниченной линиями x+y=2, y=x^2 и x=0, если x больше или равно 0?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры ограниченные линии x+y=2 y=x^2 x=0 математика задачи по математике интегралы графики функций нахождение площади Новый

Привет! Давай вместе разберемся, как найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями! Это очень увлекательная задача, и я уверен, что ты справишься с ней!

Итак, у нас есть три линии:

• x + y = 2 — это прямая линия, которая пересекает ось y в точке (0, 2) и ось x в точке (2, 0).
• y = x^2 — это парабола, которая открыта вверх и проходит через начало координат (0, 0).
• x = 0 — это вертикальная ось y.

Теперь давай найдем точки пересечения этих линий, чтобы понять, какие области мы будем исследовать!

1. Первая точка пересечения — между x + y = 2 и y = x^2. Подставим y из второго уравнения в первое:
2. x + x^2 = 2
3. x^2 + x - 2 = 0
4. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
5. D = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
6. Корни: x1 = 1 и x2 = -2. Мы берем только x1 = 1, так как x должно быть больше или равно 0.

Теперь найдем соответствующее значение y:

• Подставляем x = 1 в уравнение y = x^2: y = 1^2 = 1.

Таким образом, у нас есть точка пересечения (1, 1).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь можно найти, используя интеграл:

1. Нам нужно вычислить интеграл от нижней границы (x = 0) до верхней границы (x = 1).
2. Формула площади будет выглядеть так:
3. Площадь = ∫[0, 1] (верхняя функция - нижняя функция) dx
4. В нашем случае верхняя функция — это прямая y = 2 - x, а нижняя функция — парабола y = x^2.
5. Итак, мы получаем: Площадь = ∫[0, 1] ((2 - x) - x^2) dx.

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Площадь = ∫[0, 1] (2 - x - x^2) dx.
2. Это будет равно: [2x - (x^2)/2 - (x^3)/3] от 0 до 1.
3. Подставляем границы: (2*1 - (1^2)/2 - (1^3)/3) - (2*0 - (0^2)/2 - (0^3)/3).
4. В итоге получаем: 2 - 0.5 - 0.333... = 1.166... = 7/6.

Итак, площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна 7/6! Это потрясающий результат!

Надеюсь, тебе было интересно и полезно разбираться в этой задаче! Учись с удовольствием и не останавливайся на достигнутом!