Как можно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=9-x^2 и у=x^2?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры у=9-x^2 у=x^2 интеграл 11 класс математика вычисление площади ограниченные линии графики функций

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 9 - x^2 и у = x^2, мы будем следовать нескольким шагам:

1. Найдем точки пересечения кривых.

Для этого приравняем у = 9 - x^2 и у = x^2:

9 - x^2 = x^2

Соберем все слагаемые в одну сторону:

9 = 2x^2

Разделим обе стороны на 2:

x^2 = 4

Теперь найдем корни этого уравнения:

x = ±2

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -2 и x = 2.

1. Определим, какая из функций выше другой на интервале [-2, 2].

Для этого подставим любое значение из интервала, например, x = 0:

у = 9 - 0^2 = 9

у = 0^2 = 0

Таким образом, у = 9 - x^2 лежит выше у = x^2 на интервале [-2, 2].

1. Запишем формулу для вычисления площади.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми, можно найти по формуле:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

В нашем случае:

Площадь = ∫[-2, 2] ((9 - x^2) - (x^2)) dx = ∫[-2, 2] (9 - 2x^2) dx

1. Вычислим интеграл.

Сначала найдем неопределенный интеграл:

∫(9 - 2x^2) dx = 9x - (2/3)x^3 + C

Теперь подставим пределы интегрирования от -2 до 2:

Площадь = [9(2) - (2/3)(2^3)] - [9(-2) - (2/3)(-2^3)]

Вычислим каждую часть:

Для верхнего предела:

9(2) - (2/3)(8) = 18 - (16/3) = (54/3) - (16/3) = 38/3

Для нижнего предела:

9(-2) - (2/3)(-8) = -18 + (16/3) = (-54/3) + (16/3) = -38/3

Теперь подставим значения:

Площадь = (38/3) - (-38/3) = (38/3) + (38/3) = 76/3

1. Запишем окончательный ответ.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 9 - x^2 и у = x^2, равна 76/3 квадратных единиц.

Привет, энтузиаст математики! Давай вместе разберемся, как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=9-x^2 и у=x^2. Это действительно увлекательная задача!

Первым делом, нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем их:

1. 9 - x^2 = x^2
2. 9 = 2x^2
3. x^2 = 4
4. x = -2 и x = 2

Теперь мы знаем, что фигура ограничена по оси x от -2 до 2. Следующий шаг — это найти площадь между этими двумя кривыми. Площадь можно вычислить с помощью интеграла:

Площадь S будет равна интегралу разности верхней и нижней функции:

где верхняя функция — это у=9-x^2, а нижняя — у=x^2.

Итак, мы можем записать:

1. S = ∫ от -2 до 2 (9 - x^2 - (x^2)) dx
2. S = ∫ от -2 до 2 (9 - 2x^2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

1. ∫ (9 - 2x^2) dx = 9x - (2/3)x^3
2. Теперь подставим пределы интегрирования:

Подставляем x=2:

9 * 2 - (2/3) * 2^3 = 18 - (16/3) = 54/3 - 16/3 = 38/3

Подставляем x=-2:

9 * (-2) - (2/3) * (-2)^3 = -18 + (16/3) = -54/3 + 16/3 = -38/3

Теперь находим разность:

S = (38/3) - (-38/3) = (38/3) + (38/3) = 76/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна 76/3!

Это просто невероятно, как математика позволяет нам находить такие красивые решения! Надеюсь, тебе было интересно, и ты вдохновился на новые математические подвиги!