Как можно определить площадь области, заключенной между графиками y=x^2 и x=y^2?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь области графики y=x^2 x=y^2 интегралы методы нахождения площади математика 11 класс Новый

Чтобы определить площадь области, заключенной между графиками функций y=x^2 и x=y^2, необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение точек пересечения графиков, определение границ интегрирования и использование интегрального исчисления.

1. Нахождение точек пересечения графиков:

   Для начала, необходимо найти точки, в которых графики функций пересекаются. Это делается путем равенства уравнений:

   • y = x^2
   • x = y^2

   Подставим y из первого уравнения во второе:

   x = (x^2)^2 = x^4.

   Переписываем уравнение:

   x^4 - x = 0.

   Факторизуем:

   x(x^3 - 1) = 0.

   Таким образом, x = 0 или x^3 - 1 = 0, что дает x = 1. Следовательно, точки пересечения находятся в (0, 0) и (1, 1).

2. Определение границ интегрирования:

   Границы интегрирования определяются по найденным точкам пересечения, то есть от 0 до 1.

3. Построение интеграла для площади:

   Площадь области между графиками можно найти, вычислив интеграл разности верхней и нижней функций. В данном случае, для x от 0 до 1, верхней является функция y=x^2, а нижней - функция x=y^2 (или y=sqrt(x)). Таким образом, мы имеем:

   Площадь = ∫(x^2 - sqrt(x)) dx от 0 до 1.

4. Вычисление интеграла:

   Теперь вычислим интеграл:

   • ∫(x^2) dx = (1/3)x^3 от 0 до 1 = (1/3)(1) - (1/3)(0) = 1/3.
   • ∫(sqrt(x)) dx = (2/3)x^(3/2) от 0 до 1 = (2/3)(1) - (2/3)(0) = 2/3.

   Таким образом, площадь области равна:

   Площадь = 1/3 - 2/3 = -1/3.

   Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:

   Площадь = 2/3.

В итоге, площадь области, заключенной между графиками y=x^2 и x=y^2, равна 2/3.