Как найти площадь области, заключенной между кривой y^2=9x и прямой 3x-4y+9=0?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь области кривая y^2=9x прямая 3x-4y+9=0 интегралы математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между кривой и прямой, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Преобразование уравнения прямой

Начнем с уравнения прямой 3x - 4y + 9 = 0. Мы можем выразить y через x:

• 4y = 3x + 9
• y = (3/4)x + (9/4)

Шаг 2: Определение точки пересечения

Теперь найдем точки пересечения кривой и прямой. Кривая задана уравнением y^2 = 9x. Подставим выражение для y из уравнения прямой в уравнение кривой:

• ((3/4)x + (9/4))^2 = 9x

Теперь раскроем скобки:

• (9/16)x^2 + (2 * (3/4)x * (9/4)) + (81/16) = 9x
• (9/16)x^2 + (27/8)x + (81/16) = 9x

Умножим все уравнение на 16, чтобы избавиться от дробей:

• 9x^2 + 54x + 81 = 144x

Соберем все в одну сторону:

• 9x^2 - 90x + 81 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 * 9 * 81
• D = 8100 - 2916 = 5184

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

• x1 = (90 + sqrt(5184)) / (2 * 9)
• x2 = (90 - sqrt(5184)) / (2 * 9)

Шаг 4: Нахождение корней

Вычислим корни:

• sqrt(5184) = 72
• x1 = (90 + 72) / 18 = 9
• x2 = (90 - 72) / 18 = 1

Шаг 5: Нахождение площади

Теперь мы знаем, что прямая и кривая пересекаются в точках x = 1 и x = 9. Чтобы найти площадь, заключенную между кривой и прямой, используем интеграл:

• Площадь = ∫(y_верх - y_низ) dx от 1 до 9

Где y_верх - это значение y от прямой, а y_низ - от кривой:

• Площадь = ∫((3/4)x + (9/4) - sqrt(9x)) dx от 1 до 9

Шаг 6: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

Для упрощения можно разделить интеграл на два отдельных:

• ∫((3/4)x) dx + ∫(9/4) dx - ∫(3sqrt(x)) dx

Вычисляем каждый интеграл отдельно и подставляем пределы от 1 до 9.

Шаг 7: Подставление пределов

После вычисления интегралов подставляем пределы и находим площадь.

Таким образом, вы получите значение площади области, заключенной между кривой и прямой.