Как можно найти площадь криволинейной трапеции, которая ограничена осью Ох, прямыми и графиком функции, если известны границы x = -2 и x = -1, а также функция y = x^2 + 1?

Кроме того, как вычислить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = (x + 1)^2 + 2 и прямой y = x + 5? Необходимо сделать построения на системе координат для обоих заданий.

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь криволинейной трапеции границы x = -2 и x = -1 функция y = x^2 + 1 вычисление площади фигуры парабола y = (x + 1)^2 + 2 прямая y = x + 5 построение на системе координат Новый

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, графиком функции и вертикальными прямыми, мы будем использовать интеграл. Рассмотрим оба задания по отдельности.

Задание 1:

Нам нужно найти площадь, ограниченную графиком функции y = x^2 + 1, вертикальными прямыми x = -2 и x = -1, и осью OX.

1. Сначала мы определим, какие значения принимает функция на заданном интервале. Подставим границы в функцию:
• y(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5
• y(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
2. Теперь мы можем записать интеграл, который будет представлять площадь:

P = ∫ от -2 до -1 (x^2 + 1) dx

3. Теперь вычислим этот интеграл:
• ∫(x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x + C
• Подставим границы:
• P = [(1/3)(-1)^3 + (-1)] - [(1/3)(-2)^3 + (-2)]
• P = [(-1/3 - 1) - ((-8/3) - 2)]
• P = [-4/3] - [-8/3 + 6/3]
• P = -4/3 + 2/3 = -2/3
• Так как площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль: P = 2/3.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 2/3.

Задание 2:

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной параболой y = (x + 1)^2 + 2 и прямой y = x + 5.

1. Сначала найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого приравняем функции:

(x + 1)^2 + 2 = x + 5

2. Решим это уравнение:
• (x + 1)^2 - x + 2 - 5 = 0
• (x + 1)^2 - x - 3 = 0
• x^2 + 2x + 1 - x - 3 = 0
• x^2 + x - 2 = 0
• (x - 1)(x + 2) = 0
• x = 1 и x = -2.
3. Теперь мы можем записать интеграл для площади между этими двумя графиками:

P = ∫ от -2 до 1 ((x + 5) - ((x + 1)^2 + 2)) dx

4. Упростим подынтегральное выражение:
• P = ∫ от -2 до 1 (x + 5 - (x^2 + 2x + 1 + 2)) dx
• P = ∫ от -2 до 1 (-x^2 - x + 2) dx
5. Теперь вычислим интеграл:
• ∫(-x^2 - x + 2) dx = (-1/3)x^3 - (1/2)x^2 + 2x + C
• Подставим границы:
• P = [(-1/3)(1)^3 - (1/2)(1)^2 + 2(1)] - [(-1/3)(-2)^3 - (1/2)(-2)^2 + 2(-2)]
• P = [(-1/3 - 1/2 + 2)] - [(8/3 - 2 + (-4))]
• P = [(-1/3 - 1/2 + 2)] - [(8/3 - 6/3)]
• P = [(-1/3 - 1/2 + 2)] - (2/3)
• P = [(-1/3 - 3/6 + 12/6)] - (2/3)
• P = [(-1/3 + 9/6)] - (2/3)
• P = (7/6 - 4/6) = 3/6 = 1/2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, равна 1/2.

Для построения графиков вам нужно будет изобразить функцию y = x^2 + 1, параболу y = (x + 1)^2 + 2 и прямую y = x + 5 на одной системе координат. Отметьте точки пересечения и границы, чтобы визуализировать области, для которых вы вычисляли площади.