Как можно найти уравнение плоскости, которая проходит через точки (5; -4; 3) и (-2; 1; 8), и при этом является перпендикулярной плоскости xoz?

Математика 11 класс Уравнения плоскости в пространстве уравнение плоскости точки в пространстве перпендикулярность плоскостей математика 11 класс геометрия 3D Новый

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки и перпендикулярной плоскости xoz, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим вектор, который соединяет две точки.

   Даны точки A(5, -4, 3) и B(-2, 1, 8). Найдем вектор AB:

   • Вектор AB = B - A = (-2 - 5, 1 - (-4), 8 - 3) = (-7, 5, 5).
2. Определим нормальный вектор плоскости.

   Плоскость xoz имеет нормальный вектор, направленный вдоль оси Y, то есть (0, 1, 0). Плоскость, перпендикулярная к плоскости xoz, будет иметь нормальный вектор, который может быть любым вектором, содержащим компоненту по оси Y равной нулю.

   Поскольку плоскость должна быть перпендикулярна плоскости xoz, нормальный вектор плоскости будет равен вектору AB, который мы нашли ранее: N = (-7, 5, 5).

3. Запишем уравнение плоскости.

   Уравнение плоскости может быть записано в виде:

   A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

   где (A, B, C) - компоненты нормального вектора, а (x0, y0, z0) - координаты одной из точек, через которые проходит плоскость. Мы можем использовать точку A(5, -4, 3).

   Подставляем значения:

   • A = -7, B = 5, C = 5, (x0, y0, z0) = (5, -4, 3).

   Тогда уравнение плоскости будет выглядеть так:

   -7(x - 5) + 5(y + 4) + 5(z - 3) = 0.

4. Упростим уравнение плоскости.

   Раскроем скобки:

   • -7x + 35 + 5y + 20 + 5z - 15 = 0.

   Соберем подобные слагаемые:

   • -7x + 5y + 5z + 40 = 0.

   Таким образом, уравнение плоскости можно записать в более привычной форме:

   7x - 5y - 5z = 40.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки (5, -4, 3) и (-2, 1, 8), и перпендикулярной плоскости xoz, имеет вид:

7x - 5y - 5z = 40.