Как составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M(0;1;2) и перпендикулярна плоскостям x+3y-2z+5=0 и 3x-y+2z-1=0?

Математика 11 класс Уравнения плоскости в пространстве уравнение плоскости точка M(0;1;2) перпендикулярна плоскостям 11 класс математика задачи по математике геометрия аналитическая геометрия векторы нормальный вектор система уравнений координаты плоскость в пространстве Новый

Чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна двум другим плоскостям, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение нормалей плоскостей

Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где вектор (A, B, C) является нормальным вектором плоскости. Для каждой из заданных плоскостей мы можем определить их нормальные векторы:

• Для плоскости x + 3y - 2z + 5 = 0 нормальный вектор N1 = (1, 3, -2).
• Для плоскости 3x - y + 2z - 1 = 0 нормальный вектор N2 = (3, -1, 2).

Шаг 2: Нахождение вектора, перпендикулярного обеим плоскостям

Плоскость, которую мы ищем, будет перпендикулярна обеим заданным плоскостям. Для этого нам нужно найти вектор, который будет перпендикулярен обоим нормальным векторам. Это можно сделать с помощью векторного произведения:

V = N1 × N2.

Вычислим векторное произведение:

• V = (1, 3, -2) × (3, -1, 2).
• Определим координаты вектора V:
• Vx = (3 * 2) - (-1 * -2) = 6 - 2 = 4.
• Vy = (-2 * 3) - (1 * 2) = -6 - 2 = -8.
• Vz = (1 * -1) - (3 * 3) = -1 - 9 = -10.

Таким образом, нормальный вектор плоскости, которую мы ищем, будет V = (4, -8, -10).

Шаг 3: Составление уравнения плоскости

Теперь, когда у нас есть нормальный вектор V и точка M(0, 1, 2), мы можем использовать формулу уравнения плоскости:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

где (x0, y0, z0) - координаты точки M, а (A, B, C) - компоненты нормального вектора V.

Подставим известные значения:

• A = 4, B = -8, C = -10,
• x0 = 0, y0 = 1, z0 = 2.

Получаем:

4(x - 0) - 8(y - 1) - 10(z - 2) = 0.

Шаг 4: Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим:

• 4x - 8y + 8 - 10z + 20 = 0.
• 4x - 8y - 10z + 28 = 0.

Итак, уравнение искомой плоскости:

4x - 8y - 10z + 28 = 0.

Это и есть уравнение плоскости, которая проходит через точку M(0;1;2) и перпендикулярна заданным плоскостям.