Похожие вопросы
2024-10-31 21:58:24
Как составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M(0;1;2) и перпендикулярна плоскостям x+3y-2z+5=0 и 3x-y+2z-1=0?
Математика 11 класс Уравнения плоскости в пространстве уравнение плоскости точка M(0;1;2) перпендикулярна плоскостям 11 класс математика задачи по математике геометрия аналитическая геометрия векторы нормальный вектор система уравнений координаты плоскость в пространстве
2024-12-12 09:49:07
Чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна двум другим плоскостям, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.
Шаг 1: Определение нормалей плоскостейУравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где вектор (A, B, C) является нормальным вектором плоскости. Для каждой из заданных плоскостей мы можем определить их нормальные векторы:
- Для плоскости x + 3y - 2z + 5 = 0 нормальный вектор N1 = (1, 3, -2).
- Для плоскости 3x - y + 2z - 1 = 0 нормальный вектор N2 = (3, -1, 2).
Плоскость, которую мы ищем, будет перпендикулярна обеим заданным плоскостям. Для этого нам нужно найти вектор, который будет перпендикулярен обоим нормальным векторам. Это можно сделать с помощью векторного произведения:
V = N1 × N2.
Вычислим векторное произведение:
- V = (1, 3, -2) × (3, -1, 2).
- Определим координаты вектора V:
- Vx = (3 * 2) - (-1 * -2) = 6 - 2 = 4.
- Vy = (-2 * 3) - (1 * 2) = -6 - 2 = -8.
- Vz = (1 * -1) - (3 * 3) = -1 - 9 = -10.
Таким образом, нормальный вектор плоскости, которую мы ищем, будет V = (4, -8, -10).
Шаг 3: Составление уравнения плоскостиТеперь, когда у нас есть нормальный вектор V и точка M(0, 1, 2), мы можем использовать формулу уравнения плоскости:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,
где (x0, y0, z0) - координаты точки M, а (A, B, C) - компоненты нормального вектора V.
Подставим известные значения:
- A = 4, B = -8, C = -10,
- x0 = 0, y0 = 1, z0 = 2.
Получаем:
4(x - 0) - 8(y - 1) - 10(z - 2) = 0.
Шаг 4: Упрощение уравненияРаскроем скобки и упростим:
- 4x - 8y + 8 - 10z + 20 = 0.
- 4x - 8y - 10z + 28 = 0.
4x - 8y - 10z + 28 = 0.
Это и есть уравнение плоскости, которая проходит через точку M(0;1;2) и перпендикулярна заданным плоскостям.
