Как можно составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2, 0, 1) и М2(-1, 0, 3), которая при этом параллельна прямой, заданной уравнением х-1/2=у/2=z-1/-3?

Математика 11 класс Уравнения плоскости в пространстве уравнение плоскости точки М1 и М2 параллельная прямая математика 11 класс координаты точек геометрия векторное уравнение система координат Новый

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через две точки и параллельной заданной прямой, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти направление заданной прямой.

Уравнение прямой задано в симметрической форме:

x - 1/2 = y / 2 = (z - 1) / -3.

Из этого уравнения мы можем определить направляющий вектор прямой. Для этого мы можем представить его векторное уравнение. Из симметрического уравнения видно, что:

• Направляющий вектор прямой: (1/2, 2, -3).

Шаг 2: Найти вектор, соединяющий точки М1 и М2.

Точки М1(2, 0, 1) и М2(-1, 0, 3) можно использовать для нахождения вектора, который соединяет эти точки:

• Вектор М1М2 = М2 - М1 = (-1 - 2, 0 - 0, 3 - 1) = (-3, 0, 2).

Шаг 3: Найти нормальный вектор плоскости.

Плоскость, параллельная прямой, будет иметь нормальный вектор, который перпендикулярен направляющему вектору прямой. Для этого мы можем использовать векторное произведение:

• Направляющий вектор прямой: V1 = (1/2, 2, -3).
• Вектор М1М2: V2 = (-3, 0, 2).

Вычисляем векторное произведение V1 и V2:

• V1 x V2 = |i j k|
• |1/2 2 -3|
• |-3 0 2|

Вычисляем определитель:

• i(2*2 - 0*(-3)) - j(1/2*2 - (-3)*(-3)) + k(1/2*0 - 2*(-3)) = 4i - (1 - 9)j + 6k = 4i + 8j + 6k.

Таким образом, нормальный вектор плоскости N = (4, 8, 6).

Шаг 4: Составить уравнение плоскости.

Уравнение плоскости можно записать в общем виде:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

где (A, B, C) - компоненты нормального вектора, а (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит плоскость. Мы можем взять точку М1(2, 0, 1):

• 4(x - 2) + 8(y - 0) + 6(z - 1) = 0.

Раскроем скобки:

• 4x - 8 + 8y + 6z - 6 = 0.

Упрощаем уравнение:

• 4x + 8y + 6z - 14 = 0.

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2, 0, 1) и М2(-1, 0, 3) и параллельной заданной прямой, имеет вид:

4x + 8y + 6z - 14 = 0.