Как можно обосновать, что сумма Cn° + Cn¹ + ... + Cnn равна 2 в степени n?

Математика 11 класс Комбинаторика сумма Cn° Cn¹ CNN равна 2 в степени n обоснование суммы комбинаторика биномиальные коэффициенты Новый

Чтобы обосновать, что сумма Cn° + Cn¹ + ... + Cnn равна 2 в степени n, мы можем использовать комбинаторный подход и свойства биномиальных коэффициентов.

Сначала давайте разберем, что такое Cnk (биномиальный коэффициент). Он обозначает количество способов выбрать k элементов из n, и вычисляется по формуле:

• Cnk = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь рассмотрим выражение Cn° + Cn¹ + ... + Cnn. Это сумма всех возможных способов выбрать от 0 до n элементов из n. Мы можем интерпретировать это с точки зрения комбинаторики:

1. Каждый элемент может быть либо выбран, либо не выбран. Таким образом, для каждого из n элементов у нас есть 2 варианта.
2. Если мы рассматриваем все n элементов, общее количество способов выбрать любые подмножества из этих n элементов будет равно 2^n, так как для каждого элемента мы можем сделать выбор - включить его в подмножество или нет.

Таким образом, сумма Cn° + Cn¹ + ... + Cnn равна количеству всех возможных подмножеств из n элементов, что и составляет 2^n.

Для более формального обоснования можно воспользоваться теоремой о биномиальном разложении:

• (x + y)^n = Cn° * x^n + Cn¹ * x^(n-1) * y + ... + Cnn * y^n

Если мы подставим x = 1 и y = 1, то получим:

• (1 + 1)^n = Cn° * 1^n + Cn¹ * 1^(n-1) * 1 + ... + Cnn * 1^n
• 2^n = Cn° + Cn¹ + ... + Cnn

Таким образом, мы подтверждаем, что сумма Cn° + Cn¹ + ... + Cnn действительно равна 2 в степени n.