Как можно обосновать формулу дифференцирования тангенса?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление обоснование формулы дифференцирование тангенса математика 11 класс Новый

Чтобы обосновать формулу дифференцирования тангенса, мы можем воспользоваться определением производной и некоторыми тригонометрическими свойствами. Рассмотрим функцию y = tan(x). Для нахождения производной этой функции, мы воспользуемся пределом, который определяет производную.

Шаг 1: Определение производной

Производная функции y = f(x) в точке x определяется как:

f'(x) = lim (h -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

В нашем случае f(x) = tan(x), поэтому:

f'(x) = lim (h -> 0) (tan(x + h) - tan(x)) / h

Шаг 2: Использование формулы тангенса

Мы знаем, что:

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a) * tan(b))

Таким образом, подставляя a = x и b = h, получаем:

tan(x + h) = (tan(x) + tan(h)) / (1 - tan(x) * tan(h))

Шаг 3: Подстановка в предел

Теперь подставим это выражение в предел:

1. f'(x) = lim (h -> 0) [(tan(x) + tan(h)) / (1 - tan(x) * tan(h)) - tan(x)] / h
2. Упрощая, мы можем привести к общему знаменателю:
3. f'(x) = lim (h -> 0) [(tan(x) + tan(h) - tan(x) * (1 - tan(x) * tan(h))) / (1 - tan(x) * tan(h))] / h

Шаг 4: Применение предела

Когда h стремится к 0, tan(h) также стремится к 0, и мы можем использовать известное значение:

lim (h -> 0) tan(h) / h = 1

Таким образом, мы можем упростить выражение и получить:

f'(x) = sec^2(x)

Шаг 5: Заключение

Таким образом, мы обосновали, что производная функции y = tan(x) равна:

y' = sec^2(x)

Это и есть формула дифференцирования тангенса. Мы использовали пределы и тригонометрические тождества для получения результата.