Как найти производную функции f(x)=2x+3/x-1, используя следующие правила: 1) определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции область определения непрерывность функции найти производную уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

1. Область определения и непрерывность:

• Область определения: x ≠ 1 (функция не определена в этой точке).
• Функция непрерывна на множестве R, кроме x = 1.

2. Найти производную y`(x):

• f(x) = (2x + 3)/(x - 1).
• Используем правило деления: y`(x) = (u'v - uv')/v^2, где u = 2x + 3, v = x - 1.
• u' = 2, v' = 1.
• y`(x) = (2(x - 1) - (2x + 3)(1))/(x - 1)^2 = (-5)/(x - 1)^2.

3. Решить уравнение y`(x) = 0:

• y`(x) = 0, когда числитель равен нулю.
• (-5) = 0 не имеет решений.

4. Построить диаграмму производной y`(x):

• y`(x) < 0 для всех x ≠ 1.
• Диаграмма производной показывает, что функция убывает на всей области определения.

5. Определить монотонность функции:

• Функция f(x) убывает на интервале (-∞, 1) и (1, +∞).