Как найти производную функции, используя следующие правила: 1) определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции, для функции f(x)=1/корень 3 степени из x?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции область определения непрерывность функции уравнение производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания диаграмма производной f(x)=1/корень 3 степени из x Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = 1 / (корень из 3 степени из x), давайте пройдем все шаги, которые вы указали.

1. Определение области определения и проверка непрерывности функции

• Функция f(x) = 1 / (корень из 3 степени из x) определена, когда корень из 3 степени из x не равен нулю. Это происходит, когда x > 0, так как корень из 3 степени из отрицательных чисел также определен, но в данном случае мы делим на него.
• Таким образом, область определения функции: x > 0.
• Функция непрерывна на своей области определения, так как деление и корень из 3 степени являются непрерывными функциями на этом интервале.

2. Нахождение производной y'(x)

Используем правило производной для дробной функции. Если f(x) = g(x) / h(x), то производная f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / (h(x))^2.

• В нашем случае g(x) = 1, h(x) = (корень из 3 степени из x).
• g'(x) = 0, так как производная константы равна нулю.
• Теперь найдем h'(x). Поскольку h(x) = x^(1/3), то h'(x) = (1/3)x^(-2/3).
• Теперь подставим в формулу: y'(x) = (0 * h(x) - 1 * (1/3)x^(-2/3)) / (h(x))^2 = - (1/3)x^(-2/3) / (x^(1/3))^2 = - (1/3)x^(-2/3) / x^(2/3) = - (1/3)x^(-4/3).

3. Решение уравнения y'(x) = 0

Теперь найдем, где производная равна нулю:

• y'(x) = - (1/3)x^(-4/3) = 0.
• Так как - (1/3)x^(-4/3) может быть равным нулю только если x = 0, но это не входит в область определения (x > 0), значит, уравнение не имеет решений.

4. Построение диаграммы производной y'(x)

Мы знаем, что y'(x) = - (1/3)x^(-4/3). Эта производная всегда отрицательна для x > 0, так как x^(-4/3) всегда положительно для положительных x. Поэтому график производной будет находиться ниже оси абсцисс для всех x > 0.

5. Определение монотонности функции

• Поскольку производная y'(x) < 0 для всех x > 0, это означает, что функция f(x) является убывающей на всей своей области определения.

Таким образом, мы пришли к выводу, что функция f(x) = 1 / (корень из 3 степени из x) является убывающей на интервале (0, +∞).