Как найти производную функции f(x)=корень 4-3x, следуя следующим шагам: 1) определить область определения и проверить, является ли функция непрерывной; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции область определения непрерывность функции нахождение производной решение уравнения диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

1) Определение области определения и проверка непрерывности функции

Функция f(x) = √(4 - 3x) определена, когда выражение под корнем неотрицательно. То есть, необходимо решить неравенство:

• 4 - 3x ≥ 0

Решая это неравенство, мы получаем:

• 3x ≤ 4
• x ≤ 4/3

Таким образом, область определения функции f(x) будет: x ∈ (-∞, 4/3].

Функция является непрерывной на своей области определения, так как подкоренное выражение является непрерывной функцией и не принимает отрицательных значений в данной области.

2) Нахождение производной y'(x)

Для нахождения производной функции f(x) = √(4 - 3x) воспользуемся правилом дифференцирования корня:

• Если f(x) = √g(x), то f'(x) = (1/(2√g(x))) * g'(x).

В нашем случае g(x) = 4 - 3x, следовательно, g'(x) = -3. Подставляя в формулу, получаем:

• y'(x) = (1/(2√(4 - 3x))) * (-3) = -3/(2√(4 - 3x)).

3) Решение уравнения y'(x) = 0

Производная y'(x) равна нулю, когда числитель равен нулю, так как знаменатель не может быть равен нулю (он не может равняться нулю, так как подкоренное выражение всегда положительно в области определения):

• -3 = 0.

Это уравнение не имеет решений, следовательно, производная не равна нулю на всей области определения.

4) Построение диаграммы производной y'(x)

Поскольку производная y'(x) = -3/(2√(4 - 3x)) всегда отрицательна на всей области определения (-∞, 4/3], мы можем заключить, что график производной будет ниже оси абсцисс и не пересекает её.

5) Определение монотонности функции

Так как производная y'(x) < 0 для всех x ∈ (-∞, 4/3], это говорит о том, что функция f(x) является убывающей на всей своей области определения. Следовательно, функция f(x) = √(4 - 3x) убывает на интервале (-∞, 4/3].