Как найти производную функции, используя следующие правила: 1) определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции? Функция задана как f(x)=корень 3 степени из x.

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции область определения непрерывность функции уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания функция корень третьей степени Новый

Для нахождения производной функции f(x) = корень 3 степени из x, будем следовать указанным шагам.

1. Определение области определения и непрерывности функции

• Функция f(x) = корень 3 степени из x определена для всех x, так как корень 3 степени из любого действительного числа существует.
• Таким образом, область определения функции: D(f) = (-∞, +∞).
• Функция является непрерывной на всей своей области определения, так как корень 3 степени является непрерывной функцией.

2. Нахождение производной y'(x)

• Для нахождения производной функции f(x) = x^(1/3) будем использовать правило дифференцирования степенной функции.
• Производная функции f(x) = x^(1/3) вычисляется следующим образом:
• y'(x) = (1/3) * x^(-2/3) = 1 / (3 * корень 3 степени из x^2).

3. Решение уравнения y'(x) = 0

• Для нахождения точек, в которых производная равна нулю, решим уравнение:
• 1 / (3 * корень 3 степени из x^2) = 0.
• Так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а числитель в данном случае равен 1, уравнение не имеет решений.
• Следовательно, y'(x) ≠ 0 для всех x из области определения.

4. Построение диаграммы производной y'(x)

• Производная y'(x) = 1 / (3 * корень 3 степени из x^2) всегда положительна для всех x > 0.
• При x = 0 производная не определена, так как происходит деление на ноль.
• При x < 0 производная также положительна, так как корень 3 степени из x^2 всегда положителен.
• Таким образом, график производной y'(x) будет находиться выше оси абсцисс для всех x, кроме x = 0, где он не определен.

5. Определение монотонности функции

• Так как производная y'(x) > 0 для всех x ≠ 0, это означает, что функция f(x) возрастает на всей своей области определения, кроме точки x = 0.
• Таким образом, функция f(x) = корень 3 степени из x является строго возрастающей на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).

В заключение, функция f(x) = корень 3 степени из x является непрерывной и строго возрастающей на всей своей области определения, за исключением точки x = 0, где производная не определена.