Для нахождения производной функции f(x) = корень 3 степени из x, будем следовать указанным шагам.

• Функция f(x) = корень 3 степени из x определена для всех x, так как корень 3 степени из любого действительного числа существует.
• Таким образом, область определения функции: D(f) = (-∞, +∞).
• Функция является непрерывной на всей своей области определения, так как корень 3 степени является непрерывной функцией.

• Для нахождения производной функции f(x) = x^(1/3) будем использовать правило дифференцирования степенной функции.
• Производная функции f(x) = x^(1/3) вычисляется следующим образом:
• y'(x) = (1/3) * x^(-2/3) = 1 / (3 * корень 3 степени из x^2).

• Для нахождения точек, в которых производная равна нулю, решим уравнение:
• 1 / (3 * корень 3 степени из x^2) = 0.
• Так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а числитель в данном случае равен 1, уравнение не имеет решений.
• Следовательно, y'(x) ≠ 0 для всех x из области определения.

• Производная y'(x) = 1 / (3 * корень 3 степени из x^2) всегда положительна для всех x > 0.
• При x = 0 производная не определена, так как происходит деление на ноль.
• При x < 0 производная также положительна, так как корень 3 степени из x^2 всегда положителен.
• Таким образом, график производной y'(x) будет находиться выше оси абсцисс для всех x, кроме x = 0, где он не определен.

• Так как производная y'(x) > 0 для всех x ≠ 0, это означает, что функция f(x) возрастает на всей своей области определения, кроме точки x = 0.
• Таким образом, функция f(x) = корень 3 степени из x является строго возрастающей на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).

В заключение, функция f(x) = корень 3 степени из x является непрерывной и строго возрастающей на всей своей области определения, за исключением точки x = 0, где производная не определена.