Как найти производную функции f(x)=(-2x-3)^9, используя следующие шаги: 1) определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление производная функции область определения непрерывность функции нахождение производной уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

1. Определение области определения и непрерывности функции

Функция f(x) = (-2x - 3)^9 является многочленом, так как возводит выражение в степень. Область определения многочлена - это все действительные числа, то есть:

• Область определения: D(f) = R (все x ∈ R).

Так как многочлены непрерывны на всей своей области определения, можно сказать, что функция f(x) является непрерывной.

2. Нахождение производной y`(x)

Для нахождения производной функции f(x) = (-2x - 3)^9 воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (правило цепочки). Обозначим u = -2x - 3, тогда f(x) = u^9. Производная будет вычисляться следующим образом:

• y`(x) = d(f)/dx = 9u^8 * du/dx, где du/dx = -2.
• Таким образом, y`(x) = 9(-2x - 3)^8 * (-2) = -18(-2x - 3)^8.

3. Решение уравнения y`(x) = 0

Теперь найдем, при каких значениях x производная равна нулю:

• -18(-2x - 3)^8 = 0.
• Для произведения равного нулю, необходимо, чтобы (-2x - 3)^8 = 0.
• Решая это уравнение, получаем: -2x - 3 = 0, что дает x = -3/2.

4. Построение диаграммы производной y`(x)

Для построения диаграммы производной y`(x) = -18(-2x - 3)^8, необходимо проанализировать знак производной:

• При x < -3/2: (-2x - 3) > 0, следовательно, y`(x) > 0 (функция возрастает).
• При x = -3/2: y`(x) = 0 (функция имеет экстремум).
• При x > -3/2: (-2x - 3) < 0, следовательно, y`(x) < 0 (функция убывает).

5. Определение монотонности функции

На основе анализа производной можно определить монотонность функции:

• Функция f(x) возрастает на интервале (-∞, -3/2).
• Функция f(x) достигает максимума в точке x = -3/2.
• Функция f(x) убывает на интервале (-3/2, +∞).

Таким образом, мы пришли к выводу, что функция f(x) = (-2x - 3)^9 возрастает до x = -3/2 и убывает после этой точки.