Как можно определить наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x2 − 3x − 4 на отрезке [−1;5] двумя методами: с использованием производной функции и формулы вершины параболы?

Кроме того, укажите промежутки, на которых функция убывает и возрастает. Являются ли найденные вами экстремумы условными, локальными или глобальными?

Математика 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции производная функции формула вершины параболы отрезок [-1;5] экстремумы функции локальные экстремумы глобальные экстремумы промежутки убывания промежутки возрастания Новый

Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 3x − 4 на отрезке [-1; 5], мы можем использовать два метода: метод производной и метод вершины параболы. Рассмотрим оба метода подробно.

Метод 1: Использование производной

1. Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x - 3.

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

2x - 3 = 0

2x = 3

x = 1.5.

3. Теперь проверим, находится ли эта критическая точка в пределах заданного отрезка [-1; 5]. Поскольку 1.5 находится в этом отрезке, мы продолжим.
4. Теперь нужно определить значения функции на краях отрезка и в критической точке:
• f(-1) = (-1)² - 3*(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.
• f(1.5) = (1.5)² - 3*(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25.
• f(5) = (5)² - 3*(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6.
5. Теперь сравним значения:
• f(-1) = 0
• f(1.5) = -6.25
• f(5) = 6
6. Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 5] равно 6 (в точке x = 5), а наименьшее значение равно -6.25 (в точке x = 1.5).

Метод 2: Формула вершины параболы

1. Функция f(x) = x² - 3x - 4 является параболой, открытой вверх, так как коэффициент перед x² положителен.
2. Для нахождения координат вершины параболы используем формулу:

x_в = -b/(2a), где a = 1, b = -3.

x_в = -(-3)/(2*1) = 3/2 = 1.5.

3. Теперь найдем значение функции в этой вершине:

f(1.5) = -6.25.

4. Сравниваем значения функции на концах отрезка:
• f(-1) = 0.
• f(5) = 6.
5. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1; 5] равно 6 (в точке x = 5), а наименьшее значение равно -6.25 (в точке x = 1.5).

Определение промежков возрастания и убывания

Теперь определим, на каких промежках функция возрастает и убывает:

1. Из производной f'(x) = 2x - 3 видно, что:
• f'(x) < 0, когда x < 1.5 (функция убывает).
• f'(x) > 0, когда x > 1.5 (функция возрастает).
2. Таким образом, функция убывает на промежутке [-1; 1.5] и возрастает на промежутке [1.5; 5].

Классификация экстремумов

Найденные значения функции в точках x = 1.5 (наименьшее значение -6.25) и x = 5 (наибольшее значение 6) являются глобальными экстремумами на отрезке [-1; 5], так как они являются наибольшими и наименьшими значениями функции на данном отрезке.