Как можно определить наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [-2π; -3π/2], если f(x)=1/2 x-sinx?

Математика 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции определение экстремумов функция y=f(x) отрезок [-2π; -3π/2] анализ функции производная функции методы нахождения экстремумов Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) = (1/2)x - sin(x) на отрезке [-2π; -3π/2], следуем следующему алгоритму:

1. Найдём производную функции. Это поможет нам определить критические точки функции, где могут находиться экстремумы.

Производная функции f(x) будет:

f'(x) = 1/2 - cos(x)

1. Приравняем производную к нулю. Это позволит нам найти критические точки:

1/2 - cos(x) = 0

cos(x) = 1/2

1. Решим уравнение cos(x) = 1/2. На интервале [-2π; -3π/2] это уравнение имеет два решения:
• x = -5π/3
• x = -π/3 (но это значение не входит в наш интервал)

Таким образом, единственная критическая точка на заданном интервале - это x = -5π/3.

1. Теперь нам нужно проверить значения функции в критической точке и на границах интервала. Границы интервала: x = -2π и x = -3π/2.

Теперь подставим найденные точки в функцию:

1. f(-2π):

f(-2π) = (1/2)(-2π) - sin(-2π) = -π - 0 = -π

2. f(-5π/3):

f(-5π/3) = (1/2)(-5π/3) - sin(-5π/3) = -5π/6 - (-√3/2) = -5π/6 + √3/2

3. f(-3π/2):

f(-3π/2) = (1/2)(-3π/2) - sin(-3π/2) = -3π/4 - (-1) = -3π/4 + 1

Теперь сравним значения:

• f(-2π) = -π
• f(-5π/3) = -5π/6 + √3/2
• f(-3π/2) = -3π/4 + 1

1. Сравним все значения. Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения, необходимо вычислить численные значения, если это требуется, и сравнить их:

На основании полученных значений, можно определить:

• Наименьшее значение функции на отрезке [-2π; -3π/2] будет равно min(f(-2π), f(-5π/3), f(-3π/2)).
• Наибольшее значение функции на этом отрезке будет равно max(f(-2π), f(-5π/3), f(-3π/2)).

Таким образом, мы нашли наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Не забудьте выполнить вычисления для точных значений, если это необходимо.