Как можно определить общее решение дифференциального уравнения dx = xydy?

Буду признателен за предоставление решения!!!

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения определение общего решения Дифференциальное уравнение решение уравнения математика 11 класс dx = xy dy методы решения уравнений Новый

Для того чтобы найти общее решение дифференциального уравнения dx = xydy, давайте сначала перепишем его в более удобной форме. Мы можем разделить переменные, чтобы упростить уравнение.

Исходное уравнение выглядит так:

dx = xydy

Теперь разделим переменные. Перепишем уравнение следующим образом:

dx/x = ydy

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения. Начнем с левой стороны:

• Интегрируем dx/x:

∫(1/x)dx = ln|x| + C1

• Теперь интегрируем правую сторону:

∫y dy = (1/2)y^2 + C2

Теперь у нас есть:

ln|x| = (1/2)y^2 + C

где C = C2 - C1, это новая константа интегрирования.

Чтобы выразить x через y, мы можем возвести обе стороны в степень e:

|x| = e^((1/2)y^2 + C)

Мы можем записать это как:

|x| = e^C * e^((1/2)y^2)

Так как e^C - это просто новая положительная константа, мы можем обозначить ее как K (K > 0):

|x| = K * e^((1/2)y^2)

Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения можно записать как:

x = ±K * e^((1/2)y^2)

Итак, мы получили общее решение дифференциального уравнения dx = xydy. Это решение показывает зависимость x от y с учетом произвольной константы K, которая может принимать любые положительные значения, а также знак перед K.