Как найти частное решение уравнения:

y' = -2y + 3, если y = 1 при x = 0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения частное решение уравнения y' = -2y + 3 y = 1 при x = 0 решение дифференциального уравнения математика 11 класс Новый

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка y' = -2y + 3 с начальным условием y(0) = 1, мы можем следовать следующим шагам:

1. Найдем общее решение уравнения:

Сначала мы можем переписать уравнение в стандартной форме:

y' + 2y = 3

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы решить его, мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

2. Найдем интегрирующий множитель:

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx), где P(x) - коэффициент при y. В нашем случае P(x) = 2.

Таким образом,

μ(x) = e^(∫2dx) = e^(2x).

3. Умножим уравнение на интегрирующий множитель:

Теперь умножим всё уравнение на e^(2x):

e^(2x) * y' + 2e^(2x) * y = 3e^(2x).

Левая часть уравнения теперь является производной от произведения:

(e^(2x) * y)' = 3e^(2x).

4. Интегрируем обе стороны:

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(e^(2x) * y)'dx = ∫3e^(2x)dx.

Левая часть интеграла даёт e^(2x) * y, а правая часть:

∫3e^(2x)dx = (3/2)e^(2x) + C, где C - произвольная константа.

Итак, у нас есть:

e^(2x) * y = (3/2)e^(2x) + C.

5. Выразим y:

Теперь мы можем выразить y:

y = (3/2) + Ce^(-2x).

Это общее решение нашего уравнения.

6. Найдем частное решение, используя начальное условие:

Теперь подставим начальное условие y(0) = 1:

1 = (3/2) + Ce^(0).

Это упрощается до:

1 = (3/2) + C.

Отсюда мы можем найти C:

C = 1 - (3/2) = -1/2.

7. Запишем частное решение:

Теперь подставим значение C в общее решение:

y = (3/2) - (1/2)e^(-2x).

Таким образом, частное решение нашего уравнения с заданным начальным условием y(0) = 1 будет:

y = (3/2) - (1/2)e^(-2x).

Теперь у вас есть частное решение уравнения y' = -2y + 3, которое удовлетворяет условию y(0) = 1.