Каково общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения линейное неоднородное уравнение Дифференциальное уравнение решение второго порядка постоянные коэффициенты математика Новый

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно представить как сумму двух частей: общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в следующем виде:

a y'' + b y' + c y = f(t)

где:

• y'' - вторая производная функции y по времени t;
• y' - первая производная функции y по времени t;
• a, b, c - постоянные коэффициенты;
• f(t) - заданная неоднородная часть (функция времени).

Процесс нахождения общего решения включает следующие шаги:

1. Нахождение общего решения однородного уравнения:
• Сначала решаем соответствующее однородное уравнение:

a y'' + b y' + c y = 0

• Для этого находим характеристическое уравнение:

a r² + b r + c = 0

• Решаем характеристическое уравнение, получая корни r1 и r2.
• В зависимости от природы корней (дискриминант D = b² - 4ac) общее решение однородного уравнения будет:
• Если D > 0: y_h(t) = C1 e^(r1 t) + C2 e^(r2 t)
• Если D = 0: y_h(t) = (C1 + C2 t) e^(r1 t)
• Если D < 0: y_h(t) = e^(α t) (C1 cos(β t) + C2 sin(β t)), где r1 = α + iβ.
• Нахождение частного решения неоднородного уравнения:
• Для нахождения частного решения y_p(t) можно использовать метод неопределённых коэффициентов или метод вариации произвольных постоянных.
• В зависимости от вида функции f(t) выбираем подходящую форму для y_p(t) и подставляем в уравнение, решая его для нахождения неизвестных коэффициентов.
• Составление общего решения:
• Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

y(t) = y_h(t) + y_p(t)

Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.