Как решить дифференциальное уравнение xy'+y=y^2lnx?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения математические методы xy'+y=y^2lnx примеры решения уравнений Новый

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, начнем с его записи:

xy' + y = y^2 ln(x)

Здесь y' - это производная функции y по переменной x. Давайте упростим уравнение, выделив y' и приведя уравнение к стандартному виду.

Сначала перенесем все члены, содержащие y, на одну сторону:

xy' = y^2 ln(x) - y

Теперь разделим обе стороны на x:

y' = (y^2 ln(x) - y) / x

Теперь мы можем заметить, что уравнение имеет вид, который можно решить методом разделения переменных. Для этого выразим y' как:

y' = (y^2 ln(x) / x) - (y / x)

Теперь давайте попробуем выразить y' в таком виде, чтобы можно было применить метод разделения переменных. Мы можем записать:

dy/dx = (y^2 ln(x) / x) - (y / x)

Теперь разделим переменные, чтобы все y были с одной стороны, а все x - с другой:

dy / (y^2 ln(x) / x - y / x) = dx

Упрощаем левую часть:

dy / (y^2 ln(x) - y) = dx / x

Теперь интегрируем обе стороны. Сначала интегрируем левую часть:

∫ dy / (y^2 ln(x) - y) = ∫ dx / x

Правая часть интеграла дает ln|x| + C, где C - константа интегрирования.

Левую часть интеграла нужно будет решить, возможно, с помощью подстановки или частичных дробей, в зависимости от сложности выражения. После интегрирования мы получим выражение, содержащее y.

После нахождения интегралов не забудьте решить полученное уравнение относительно y, чтобы выразить y как функцию от x.

Таким образом, мы получим общее решение данного дифференциального уравнения. Не забывайте проверять полученные решения, подставляя их обратно в исходное уравнение.