Как решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами y''-3y'+2y=0, если y(0)=1 и y'(0)=2?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения решение однородного дифференциального уравнения дифференциальное уравнение второго порядка постоянные коэффициенты начальные условия математический анализ Новый

Для решения однородного дифференциального уравнения второго порядка y'' - 3y' + 2y = 0 следуйте этим шагам:

1. Найдите характеристическое уравнение: r^2 - 3r + 2 = 0.
2. Решите характеристическое уравнение: корни r1 = 1 и r2 = 2.
3. Запишите общее решение: y(t) = C1 * e^(t) + C2 * e^(2t), где C1 и C2 - константы.
4. Используйте начальные условия:
   • y(0) = C1 + C2 = 1
   • y'(t) = C1 * e^(t) + 2C2 * e^(2t), y'(0) = C1 + 2C2 = 2
5. Решите систему уравнений:
   • C1 + C2 = 1
   • C1 + 2C2 = 2
6. Найдите C1 и C2: C2 = 1, C1 = 0.
7. Запишите окончательное решение: y(t) = e^(2t).