Как найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет следующим начальным условиям?

y"-6y'- 25y= 9sin4x-24cos4x

y(0)=2, y'(0)=-2

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения частное решение Дифференциальное уравнение начальные условия y(0)=2 y'(0)=-2 9sin4x 24cos4x математика Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Найти общее решение однородного уравнения

Сначала мы найдем общее решение однородного уравнения:

y'' - 6y' - 25y = 0

Для этого мы составим характеристическое уравнение:

r^2 - 6r - 25 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = (-6)^2 - 4 * 1 * (-25) = 36 + 100 = 136
• Корни уравнения: r1 = (6 + √136)/2 и r2 = (6 - √136)/2

Таким образом, корни будут действительными и различными. Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения

Теперь мы перейдем к нахождению частного решения для неоднородного уравнения:

y'' - 6y' - 25y = 9sin(4x) - 24cos(4x)

Мы будем использовать метод вариации параметров или метод пробных функций. В данном случае, поскольку правая часть содержит синус и косинус, мы попробуем следующее частное решение:

y_p(x) = A * sin(4x) + B * cos(4x), где A и B - постоянные, которые нужно определить.

Теперь мы найдем производные y_p:

• y_p' = 4A * cos(4x) - 4B * sin(4x)
• y_p'' = -16A * sin(4x) - 16B * cos(4x)

Подставим y_p, y_p', и y_p'' в исходное неоднородное уравнение и приравняем коэффициенты при sin(4x) и cos(4x).

Шаг 3: Определить коэффициенты A и B

После подстановки и упрощения, мы получим систему уравнений для A и B. Решив эту систему, мы найдем конкретные значения для A и B.

Шаг 4: Записать полное решение

Теперь, имея общее решение однородного уравнения y_h и частное решение y_p, мы можем записать полное решение:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

Шаг 5: Использовать начальные условия для нахождения C1 и C2

Теперь, чтобы найти значения C1 и C2, мы подставим начальные условия:

• y(0) = 2
• y'(0) = -2

Подставив x = 0 в полное решение, мы получим первое уравнение для C1 и C2. Затем мы найдем производную y'(x) и подставим x = 0 во второе уравнение. Решив систему из двух уравнений, мы найдем значения C1 и C2.

Шаг 6: Записать окончательное решение

После нахождения всех необходимых коэффициентов, мы можем записать окончательное решение задачи.

Таким образом, мы нашли частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.