Как решить дифференциальное уравнение:

4) x ln x dy = 9 y dx ?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения метод решения уравнений математический анализ ln x y dx x ln x dy Новый

Для решения данного дифференциального уравнения, начнем с его записи:

4) x ln x dy = 9 y dx

Мы можем привести уравнение к стандартному виду, разделив переменные. Для этого будем следовать следующим шагам:

1. Переносим все члены, содержащие y, в одну сторону, а все члены, содержащие x, в другую:
• Разделим обе стороны уравнения на y и x ln x:
• dy/y = (9/x ln x) dx.
2. Теперь мы можем интегрировать обе стороны:
• Интегрируем левую сторону:
• ∫(dy/y) = ln |y| + C₁, где C₁ - константа интегрирования.
• Интегрируем правую сторону:
• ∫(9/x ln x) dx.
3. Для интегрирования правой стороны используем метод подстановки:
• Пусть u = ln x, тогда du = (1/x) dx, следовательно, dx = x du = e^u du.
• Теперь подставим это в интеграл:
• ∫(9/x ln x) dx = ∫(9/u) e^u du.
• Этот интеграл может быть сложным, поэтому воспользуемся таблицами интегралов или численными методами для нахождения его значения.
4. После интегрирования мы получим:
• ln |y| = 9 ln |ln x| + C₂, где C₂ - другая константа интегрирования.
• Теперь мы можем выразить y через x:
• |y| = e^{(9 ln |ln x| + C₂)} = e^C₂ * (ln x)⁹.
• Таким образом, y = k * (ln x)⁹, где k = e^C₂ - произвольная константа.

Ответ: Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = k * (ln x)⁹, где k - произвольная константа.