Как можно определить общее решение дифференциального уравнения y" + 9y = 9/sin(3x)?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения общее решение Дифференциальное уравнение математика 11 класс y" + 9y = 9/sin(3x) решение уравнения Новый

Чтобы определить общее решение дифференциального уравнения второго порядка вида y" + 9y = 9/sin(3x), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем общее решение однородного уравнения.

Сначала рассмотрим однородную часть уравнения:

y" + 9y = 0.

Это уравнение имеет характерный многочлен:

r^2 + 9 = 0.

Решим его:

• r^2 = -9
• r = ±3i.

Таким образом, корни характеристического уравнения комплексные. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = C1 * cos(3x) + C2 * sin(3x),

где C1 и C2 - произвольные константы.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Теперь перейдем к неоднородной части уравнения:

y" + 9y = 9/sin(3x).

Здесь правая часть 9/sin(3x) может вызвать сложности при поиске частного решения. Для этого воспользуемся методом вариации постоянных или методом неопределенных коэффициентов. Однако, учитывая, что sin(3x) уже присутствует в решении однородного уравнения, мы должны попробовать найти частное решение в виде:

y_p = A * x * cos(3x) + B * x * sin(3x),

где A и B - константы, которые мы будем определять.

3. Подставим частное решение в уравнение.

Теперь необходимо подставить y_p в исходное неоднородное уравнение и найти A и B. Для этого нам нужно вычислить производные y_p:

• y_p' = A * (cos(3x) - 3x * sin(3x)) + B * (sin(3x) + 3x * cos(3x)),
• y_p'' = -3A * (sin(3x) + 3x * cos(3x)) + 3B * (cos(3x) - 3x * sin(3x)).

После подстановки y_p и его производных в уравнение y" + 9y = 9/sin(3x) и приравнивания коэффициентов, мы сможем найти значения A и B.

4. Запишем общее решение.

Общее решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид:

y = y_h + y_p = C1 * cos(3x) + C2 * sin(3x) + A * x * cos(3x) + B * x * sin(3x).

Таким образом, мы получили общее решение дифференциального уравнения. Не забудьте, что A и B нужно найти, подставив частное решение в уравнение и решив систему уравнений, полученную из приравнивания коэффициентов.