Чтобы определить первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно воспользоваться формулами, которые описывают свойства геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель как q.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Сумма прогрессии S = 729
• Второй член прогрессии a * q = 162

Сначала вспомним формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - q),

где S – сумма прогрессии, a – первый член, q – знаменатель прогрессии (где |q| < 1).

Теперь подставим известные значения в формулу:

729 = a / (1 - q) (1)

Теперь выразим второй член прогрессии:

a * q = 162 (2)

Из уравнения (2) мы можем выразить a через q:

a = 162 / q (3)

Теперь подставим выражение (3) в уравнение (1):

729 = (162 / q) / (1 - q)

Умножим обе стороны на q * (1 - q), чтобы избавиться от дроби:

729q(1 - q) = 162

Раскроем скобки:

729q - 729q^2 = 162

Перепишем уравнение в стандартной форме:

729q^2 - 729q + 162 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-729)^2 - 4 * 729 * 162

Вычислим дискриминант:

D = 531441 - 472392 = 59049

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

q = ( -b ± √D ) / (2a)

q = ( 729 ± √59049 ) / (2 * 729)

Вычислим корень из дискриминанта:

√59049 = 243

Теперь подставим значение в формулу для q:

q1 = (729 + 243) / 1458 = 972 / 1458 = 2/3

q2 = (729 - 243) / 1458 = 486 / 1458 = 1/3

Так как |q| < 1, то выбираем q = 2/3.

Теперь подставим значение q в уравнение (3),чтобы найти a:

a = 162 / (2/3) = 162 * (3/2) = 243

Таким образом, первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 243.