Как можно определить первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма этой прогрессии равна 729, а второй член составляет 162?

Математика 11 класс Геометрическая прогрессия первый член геометрической прогрессии бесконечно убывающая прогрессия сумма прогрессии 729 второй член 162 математические задачи 11 класс Новый

Чтобы определить первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно воспользоваться формулами, которые описывают свойства геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель как q.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Сумма прогрессии S = 729
• Второй член прогрессии a * q = 162

Сначала вспомним формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - q),

где S – сумма прогрессии, a – первый член, q – знаменатель прогрессии (где |q| < 1).

Теперь подставим известные значения в формулу:

729 = a / (1 - q) (1)

Теперь выразим второй член прогрессии:

a * q = 162 (2)

Из уравнения (2) мы можем выразить a через q:

a = 162 / q (3)

Теперь подставим выражение (3) в уравнение (1):

729 = (162 / q) / (1 - q)

Умножим обе стороны на q * (1 - q), чтобы избавиться от дроби:

729q(1 - q) = 162

Раскроем скобки:

729q - 729q^2 = 162

Перепишем уравнение в стандартной форме:

729q^2 - 729q + 162 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-729)^2 - 4 729 162

Вычислим дискриминант:

D = 531441 - 472392 = 59049

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

q = ( -b ± √D ) / (2a)

q = ( 729 ± √59049 ) / (2 * 729)

Вычислим корень из дискриминанта:

√59049 = 243

Теперь подставим значение в формулу для q:

q1 = (729 + 243) / 1458 = 972 / 1458 = 2/3

q2 = (729 - 243) / 1458 = 486 / 1458 = 1/3

Так как |q| < 1, то выбираем q = 2/3.

Теперь подставим значение q в уравнение (3), чтобы найти a:

a = 162 / (2/3) = 162 * (3/2) = 243

Таким образом, первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 243.