Сумма пяти чисел, которые составляют геометрическую прогрессию, равна 248. Какое из этих чисел является наибольшим, если третье число в два раза больше четвертого?

Математика 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма чисел наибольшее число математическая задача решение задачи свойства прогрессии Новый

Давайте обозначим пять чисел геометрической прогрессии как a, ar, ar², ar³ и ar⁴, где a - первое число, а r - знаменатель прогрессии.

Согласно условию задачи, сумма этих пяти чисел равна 248. Мы можем записать это уравнение:

• a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ = 248

Мы можем вынести a за скобки:

• a(1 + r + r² + r³ + r⁴) = 248

Теперь давайте упростим выражение в скобках. Это сумма геометрической прогрессии, и её можно вычислить по формуле:

• S = a(1 - r^n) / (1 - r), где n - количество членов прогрессии.

В нашем случае n = 5, поэтому:

• 1 + r + r² + r³ + r⁴ = (1 - r⁵) / (1 - r)

Теперь подставим это в уравнение:

• a * (1 - r⁵) / (1 - r) = 248

Также из условия известно, что третье число в два раза больше четвертого:

• ar² = 2 * ar³

Если мы упростим это уравнение, то получим:

• ar² = 2ar³
• 1 = 2r
• r = 1/2

Теперь подставим значение r в уравнение для суммы:

• a * (1 - (1/2)⁵) / (1 - (1/2)) = 248

Упрощаем:

• (1/2)⁵ = 1/32
• 1 - (1/2)⁵ = 1 - 1/32 = 31/32
• 1 - (1/2) = 1/2

Теперь подставим это в уравнение:

• a * (31/32) / (1/2) = 248

Умножим обе стороны на 2:

• 2a * (31/32) = 496

Теперь умножим обе стороны на 32/31:

• a = (496 * 32) / 62 = 256

Теперь мы знаем значение a. Подставим его обратно, чтобы найти все числа прогрессии:

• Первое число: a = 256
• Второе число: ar = 256 * (1/2) = 128
• Третье число: ar² = 256 * (1/4) = 64
• Четвертое число: ar³ = 256 * (1/8) = 32
• Пятое число: ar⁴ = 256 * (1/16) = 16

Теперь мы можем определить наибольшее число среди этих пяти:

• Наибольшее число: 256

Таким образом, наибольшее число в геометрической прогрессии равно 256.