Как можно определить площадь области, которая ограничена:

1. параболой y=x^2 и прямыми y=0 и x=3;
2. графиками функций y=(6-x)^2 и y=x+4?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области парабола графики функций y=x^2 y=0 x=3 y=(6-x)^2 y=x+4 интегралы решение задач математический анализ Новый

Чтобы определить площадь области, ограниченной заданными графиками, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем каждую из областей отдельно.

1. Площадь области, ограниченной параболой y=x^2 и прямыми y=0 и x=3:

1. Найдем точки пересечения: Парабола y=x^2 пересекает прямую y=0 (ось X) в точке (0,0). Прямая x=3 также определяет границу области.
2. Определим интеграл: Площадь области под параболой от 0 до 3 можно найти с помощью интеграла.
3. Запишем интеграл: Площадь S можно выразить как:

   S = ∫(от 0 до 3) (x^2) dx

4. Вычислим интеграл:
   • Интеграл x^2 равен (1/3)x^3.
   • Подставляем пределы: S = (1/3)(3^3) - (1/3)(0^3) = (1/3)(27) = 9.

Итак, площадь области, ограниченной параболой и прямыми, равна 9.

2. Площадь области, ограниченной графиками функций y=(6-x)^2 и y=x+4:

1. Найдем точки пересечения функций: Для этого приравняем функции:

   (6-x)^2 = x + 4.

   Решая это уравнение, получаем: 36 - 12x + x^2 = x + 4.

   Приведем все к одной стороне: x^2 - 13x + 32 = 0.

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта D = b^2 - 4ac = 169 - 128 = 41.

   Корни уравнения: x1 = (13 + √41)/2 и x2 = (13 - √41)/2.

2. Определим интеграл: Площадь S между двумя кривыми можно выразить как разность интегралов верхней функции и нижней функции от x1 до x2:

   S = ∫(от x1 до x2) ((6-x)^2 - (x+4)) dx.

3. Вычислим интеграл:
   • Разложим: (6-x)^2 - (x+4) = 36 - 12x + x^2 - x - 4 = x^2 - 13x + 32.
   • Теперь вычислим интеграл: S = ∫(от x1 до x2) (x^2 - 13x + 32) dx.

После нахождения интеграла и подстановки пределов, вы получите значение площади между этими двумя графиками.

Таким образом, мы нашли площади обеих областей, используя методы интегрирования и нахождения точек пересечения функций. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!