Как можно определить площадь области, заключенной между линией y = -x в квадрате + 4 и линией y = 2 - x?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь области линия y=-x линия y=2-x квадрат +4 определение площади интегралы графики функций Новый

Для определения площади области, заключенной между линией y = -x^2 + 4 и линией y = 2 - x, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения линий.

   Для этого приравняем уравнения обеих линий:

   -x^2 + 4 = 2 - x

   Переносим все члены в одну сторону:

   -x^2 + x + 2 = 0

   Умножим уравнение на -1 для удобства:

   x^2 - x - 2 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

   x = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

   Подставляем значения:

   x = (1 ± √((-1)^2 - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1) = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   • x1 = (1 + 3) / 2 = 2
   • x2 = (1 - 3) / 2 = -1
2. Найти соответствующие значения y для этих x.

   Подставим x = 2 в одно из уравнений (например, y = 2 - x):

   y = 2 - 2 = 0.

   Подставим x = -1:

   y = 2 - (-1) = 3.

   Таким образом, точки пересечения: (2, 0) и (-1, 3).

3. Определить площадь между кривыми.

   Площадь области между двумя кривыми можно найти, вычислив интеграл от разности функций на интервале от x = -1 до x = 2:

   Площадь = ∫[от -1 до 2] ((-x^2 + 4) - (2 - x)) dx.

   Упростим выражение под интегралом:

   -x^2 + 4 - 2 + x = -x^2 + x + 2.

   Теперь вычислим интеграл:

   ∫(-x^2 + x + 2) dx = (-x^3/3 + x^2/2 + 2x).

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   Подставляем x = 2:

   = -((2)^3)/3 + (2)^2/2 + 2(2) = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6 = 10/3.

   Подставляем x = -1:

   = -((-1)^3)/3 + (-1)^2/2 + 2(-1) = 1/3 + 1 - 2 = 1/3 - 1 = -2/3.

   Теперь вычтем: 10/3 - (-2/3) = 10/3 + 2/3 = 12/3 = 4.

Ответ: Площадь области, заключенной между линией y = -x^2 + 4 и линией y = 2 - x, равна 4.