Как можно построить график функции f(x) = 1/3x³ - 4x - 3?

Математика 11 класс Построение графиков функций построение графика функции график функции f(x) функции третьей степени анализ функции математический график методы построения графиков Новый

Чтобы построить график функции f(x) = (1/3)x³ - 4x - 3, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Определите область определения функции.

Функция f(x) является полиномом третьей степени, и такие функции определены для всех значений x. Таким образом, область определения будет:

• x ∈ R (все действительные числа)

2. Найдите производную функции.

Для анализа поведения функции, полезно найти ее производную:

• f'(x) = d/dx [(1/3)x³ - 4x - 3] = x² - 4

3. Найдите критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

• x² - 4 = 0
• x² = 4
• x = ±2

4. Проведите анализ знаков производной.

Теперь определим, где функция возрастает, а где убывает:

• f'(x) > 0, если x < -2 или x > 2 (функция возрастает)
• f'(x) < 0, если -2 < x < 2 (функция убывает)

5. Найдите значения функции в критических точках.

Теперь подставим найденные критические точки в исходную функцию:

• f(-2) = (1/3)(-2)³ - 4(-2) - 3 = -8/3 + 8 - 3 = 1/3
• f(2) = (1/3)(2)³ - 4(2) - 3 = 8/3 - 8 - 3 = -25/3

6. Найдите значения функции для других значений x.

Для более точного построения графика, вычислите значения функции в нескольких точках:

• f(-3) = (1/3)(-3)³ - 4(-3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0
• f(0) = (1/3)(0)³ - 4(0) - 3 = -3
• f(1) = (1/3)(1)³ - 4(1) - 3 = 1/3 - 4 - 3 = -38/3
• f(3) = (1/3)(3)³ - 4(3) - 3 = 9 - 12 - 3 = -6

7. Постройте график функции.

Теперь, когда у вас есть значения функции в различных точках, вы можете построить график:

• Отметьте критические точки (-2, 1/3) и (2, -25/3) на координатной плоскости.
• Соедините точки, учитывая, что функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), а убывает на интервале (-2, 2).
• Не забудьте отметить другие вычисленные точки: (-3, 0), (0, -3), (1, -38/3), (3, -6).

Теперь у вас есть график функции f(x) = (1/3)x³ - 4x - 3, который показывает поведение функции на всей области определения.