Как построить график функции с исследованием: y = x² + √x?

Математика 11 класс Построение графиков функций график функции исследование функции y = x² + √x построение графика математика 11 класс Новый

Давайте разберем, как построить график функции y = x² + √x и проведем ее исследование. Для начала, мы определим область определения функции, найдем производную для анализа поведения функции, а затем построим сам график.

Шаг 1: Определение области определения

Функция y = x² + √x состоит из двух частей: x² и √x. Чтобы определить область определения, необходимо учесть, что под корнем не может быть отрицательное число. Следовательно, √x определено для x ≥ 0.

• Область определения: x ∈ [0; +∞).

Шаг 2: Нахождение производной

Теперь найдем производную функции, чтобы исследовать ее поведение (возрастание и убывание).

• y' = 2x + (1/2) * x^(-1/2) = 2x + 1/(2√x).

Теперь мы можем определить, где функция возрастает и убывает. Для этого найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 2x + 1/(2√x) = 0.

Решая это уравнение, мы можем заметить, что для x > 0 производная всегда положительна. Следовательно, функция возрастет на всей области определения (x ∈ (0; +∞)).

Шаг 3: Нахождение значений функции

Теперь найдем значения функции в некоторых ключевых точках:

• y(0) = 0² + √0 = 0;
• y(1) = 1² + √1 = 2;
• y(4) = 4² + √4 = 16 + 2 = 18;

Шаг 4: Построение графика

Теперь мы можем построить график функции. Для этого отметим на координатной плоскости найденные точки и нарисуем кривую, соединяющую их. График будет выглядеть следующим образом:

• Точка (0, 0);
• Точка (1, 2);
• Точка (4, 18);

График функции будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с добавлением корня, который делает его более "плоским" в начале и более крутым при увеличении x.

Шаг 5: Выводы

Таким образом, мы исследовали функцию y = x² + √x, определили ее область определения, нашли производную и ключевые точки, а также построили график. Функция возрастает на всей своей области определения и имеет минимальное значение в точке (0, 0).