Как можно построить график функции y = x^2 / (x^3 - 1)?

Математика 11 класс Построение графиков функций график функции построение графика y = x^2 / (x^3 - 1) математика 11 класс анализ функции Новый

Чтобы построить график функции y = x^2 / (x^3 - 1), нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку:

1. Определение области определения функции:
   • Функция определена, когда знаменатель не равен нулю. То есть, мы должны решить уравнение:
   • x^3 - 1 = 0. Это уравнение имеет одно решение: x = 1.
   • Таким образом, область определения функции:
   • x ∈ R, x ≠ 1.
2. Нахождение асимптот:
   • Вертикальная асимптота возникает, когда функция стремится к бесконечности. В нашем случае, это происходит при x = 1.
   • Горизонтальная асимптота определяется пределом функции при x, стремящемся к бесконечности:
   • lim (x → ∞) y = lim (x → ∞) x^2 / (x^3 - 1) = 0, поскольку степень в числителе меньше степени в знаменателе.
3. Нахождение нулей функции:
   • Чтобы найти нули функции, приравняем числитель к нулю:
   • x^2 = 0, что дает x = 0. Таким образом, функция имеет нуль в точке (0, 0).
4. Исследование поведения функции:
   • Найдем производную функции, чтобы определить, где она возрастает и убывает:
   • Используем правило частного для нахождения производной:
   • y' = ( (2x)(x^3 - 1) - (x^2)(3x^2) ) / (x^3 - 1)^2.
   • Упрощаем и находим критические точки, решая y' = 0.
5. Построение графика:
   • Находим значения функции для различных x, включая значения около x = 1, чтобы увидеть поведение функции вблизи вертикальной асимптоты.
   • Построим точки на графике, используя найденные значения и асимптоты.
   • Соединим точки, учитывая найденные нули и асимптоты.

Следуя этим шагам, вы сможете построить график функции y = x^2 / (x^3 - 1). Не забудьте проверить все найденные точки и асимптоты, чтобы график был точным и полным.