Чтобы построить график функции y = x^3 + 3x^2, следуйте этим шагам:

Функция y = x^3 + 3x^2 является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Область определения: все действительные числа.

Для анализа поведения функции, полезно найти её производную:

• y' = 3x^2 + 6x

Это поможет нам определить критические точки и интервалы возрастания и убывания.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

• 3x^2 + 6x = 0
• x(3x + 6) = 0

Таким образом, x = 0 и x = -2 являются критическими точками.

Теперь исследуем знак производной:

• Для x < -2: y' > 0 (функция возрастает)
• Для -2 < x < 0: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > 0: y' > 0 (функция возрастает)

Теперь подставим критические точки в исходную функцию:

• y(0) = 0^3 + 3*0^2 = 0
• y(-2) = (-2)^3 + 3*(-2)^2 = -8 + 12 = 4

Для построения графика полезно знать значения функции в нескольких точках:

• y(-3) = (-3)^3 + 3*(-3)^2 = -27 + 27 = 0
• y(1) = 1^3 + 3*1^2 = 1 + 3 = 4
• y(2) = 2^3 + 3*2^2 = 8 + 12 = 20

Теперь, имея значения функции и информацию о возрастании и убывании, можно построить график:

• Критическая точка (-2, 4) - максимум.
• Критическая точка (0, 0) - точка перегиба.
• Функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞) и убывает на интервале (-2, 0).

Используя эти данные, вы можете нарисовать график функции, отмечая важные точки и интервалы. Не забудьте подписать оси и отметить критические точки!