Как можно провести исследование функции y = x^3 - 3x на монотонность?

Математика 11 класс Исследование функций исследование функции монотонность функции y = x^3 - 3x производная функции анализ графика функции Новый

Для исследования функции y = x^3 - 3x на монотонность, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найти производную функции.

Производная функции y = x^3 - 3x будет равна:

y' = 3x^2 - 3.

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае:

3x^2 - 3 = 0.

Решим это уравнение:

• 3x^2 = 3
• x^2 = 1
• x = ±1.

Таким образом, критические точки: x = -1 и x = 1.

3. Определить знаки производной на интервалах.

Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы, основываясь на найденных критических точках:

• Интервал 1: (-∞, -1)
• Интервал 2: (-1, 1)
• Интервал 3: (1, ∞)

Теперь проверим знак производной на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, -1) возьмем, например, x = -2:

y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 (положительно).

• Для интервала (-1, 1) возьмем, например, x = 0:

y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 (отрицательно).

• Для интервала (1, ∞) возьмем, например, x = 2:

y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 (положительно).

4. Сделать выводы о монотонности.

Теперь, зная знаки производной на каждом интервале, можем сделать выводы о монотонности функции:

• На интервале (-∞, -1) функция возрастает, так как производная положительна.
• На интервале (-1, 1) функция убывает, так как производная отрицательна.
• На интервале (1, ∞) функция снова возрастает, так как производная положительна.

Таким образом, функция y = x^3 - 3x возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, ∞), а убывает на интервале (-1, 1).