Как можно решить дифференциальное уравнение первого порядка ydx=-xdy, если Y=3 при X=2? Это задание срочное и оценивается в 40 баллов.

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения Новый

Давайте вместе решим это дифференциальное уравнение первого порядка! Уравнение, которое нам дано, выглядит так:

ydx = -xdy

Чтобы решить это уравнение, мы можем сначала привести его к стандартному виду. Давайте разделим обе стороны на xy:

dx/x = -dy/y

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

1. Интегрируем левую часть:
• ∫(1/x)dx = ln|x| + C1
2. Интегрируем правую часть:
• ∫(-1/y)dy = -ln|y| + C2

Теперь мы можем записать результат интегрирования:

ln|x| = -ln|y| + C

Где C = C2 - C1, и это константа интегрирования. Теперь давайте упростим это уравнение:

ln|x| + ln|y| = C

Это можно переписать как:

ln|xy| = C

Теперь, возведем обе стороны в степень:

|xy| = e^C

Обозначим e^C как K (константа):

xy = K

Теперь у нас есть общее решение! Но нам нужно найти конкретное решение, используя начальные условия Y = 3 при X = 2:

2 * 3 = K

Таким образом, K = 6. Теперь подставим K в уравнение:

xy = 6

Это и есть наше конкретное решение! Теперь мы знаем, что:

y = 6/x

Итак, мы успешно решили дифференциальное уравнение! Ура!