Решим данное дифференциальное уравнение: y sin x + y' cos x = 1.

Это уравнение можно решить методом введения новой переменной или методом вариации постоянной. Давайте подробно рассмотрим шаги решения:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме:
   • Исходное уравнение: y sin x + y' cos x = 1.
   • Перепишем его как: y' cos x + y sin x = 1.
2. Преобразуем уравнение:
   • Разделим обе части уравнения на cos x, чтобы выделить производную y':
   • y' + y tan x = sec x.
3. Решим уравнение методом вариации постоянной:
   • Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и его можно решить с использованием интегрирующего множителя.
   • Интегрирующий множитель μ(x) находится как exp(∫ tan x dx) = exp(-ln|cos x|) = sec x.
4. Умножим уравнение на интегрирующий множитель:
   • sec x * (y' + y tan x) = sec x * sec x.
   • Это упростит уравнение до: d/dx (y sec x) = sec^2 x.
5. Интегрируем обе части уравнения:
   • Интегрируем левую часть: ∫d/dx (y sec x) dx = y sec x.
   • Интегрируем правую часть: ∫sec^2 x dx = tan x + C, где C — константа интегрирования.
6. Запишем общее решение:
   • Получаем: y sec x = tan x + C.
   • Отсюда y = (tan x + C) cos x.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y sin x + y' cos x = 1 имеет вид: y = (tan x + C) cos x.