Как можно решить неравенство: iog2(4-x) + iog0.5(x-2) ≥ 1?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство математика 11 класс iog2 iog0.5 неравенство с логарифмами методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства iog2(4-x) + iog0.5(x-2) ≥ 1 начнем с преобразования логарифмических выражений.

Во-первых, обратим внимание на то, что iog0.5(x-2) можно переписать через логарифм с основанием 2, используя свойство логарифмов: iog0.5(x-2) = iog2(x-2) / iog2(0.5). Поскольку iog2(0.5) = -1, получаем:

iog0.5(x-2) = -iog2(x-2).

Теперь подставим это в исходное неравенство:

iog2(4-x) - iog2(x-2) ≥ 1.

Используя свойство логарифмов, мы можем объединить логарифмы:

iog2((4-x)/(x-2)) ≥ 1.

Теперь преобразуем это неравенство в экспоненциальную форму:

(4-x)/(x-2) ≥ 2.

Теперь решим это неравенство. Умножим обе стороны на (x-2), но при этом учтем, что знак неравенства изменится, если (x-2) отрицательно:

1. Если x - 2 > 0 (т.е. x > 2), то:
• (4-x) ≥ 2(x-2)
• 4 - x ≥ 2x - 4
• 4 + 4 ≥ 2x + x
• 8 ≥ 3x
• x ≤ 8/3.
2. Если x - 2 < 0 (т.е. x < 2), то:
• (4-x) ≤ 2(x-2)
• 4 - x ≤ 2x - 4
• 4 + 4 ≤ 2x + x
• 8 ≤ 3x
• x ≥ 8/3.

Теперь объединим результаты:

1. В первом случае, когда x > 2, мы получили x ≤ 8/3, что дает 2 < x ≤ 8/3.

2. Во втором случае, когда x < 2, мы получили x ≥ 8/3, что невозможно, так как 8/3 > 2.

Таким образом, единственное решение нашего неравенства:

2 < x ≤ 8/3.

Итак, ответ: (2, 8/3].