Как решить неравенство:

log0,5(3x+0,5)+log0,5(0,25x+3) > -2?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифмы решение неравенств математика log0,5 3x+0,5 0,25x+3 математические задачи Новый

Чтобы решить неравенство log_0.5(3x + 0.5) + log_0.5(0.25x + 3) > -2, начнем с применения свойства логарифмов, которое гласит, что log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c). В нашем случае это означает:

• Сначала объединим логарифмы:

log_0.5((3x + 0.5)(0.25x + 3)) > -2

• Теперь преобразуем правую часть неравенства. Мы знаем, что -2 = log_0.5(0.25), так как 0.5^-2 = 0.25.

Теперь наше неравенство выглядит так:

log_0.5((3x + 0.5)(0.25x + 3)) > log_0.5(0.25)

• Так как основание логарифма 0.5 меньше 1, неравенства меняются местами при удалении логарифмов:

(3x + 0.5)(0.25x + 3) < 0.25

Теперь раскроем скобки:

3x * 0.25x + 9x + 0.5 * 0.25x + 1.5 < 0.25

Упрощаем:

0.75x² + 9.5x + 1.5 < 0.25

Переносим 0.25 в левую часть:

0.75x² + 9.5x + 1.25 < 0

Теперь умножим все уравнение на 4 (чтобы избавиться от дробей):

3x² + 38x + 5 < 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 38² - 4 * 3 * 5 = 1444 - 60 = 1384

Корни уравнения:

x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)

x_1,2 = (-38 ± √1384) / 6

Теперь вычислим корни и определим промежутки:

• Находим корни и проверяем знаки функции на интервалах, определенных корнями.

Таким образом, мы получим промежутки, где функция 3x² + 38x + 5 отрицательна.

Не забудьте проверить, чтобы значения 3x + 0.5 > 0 и 0.25x + 3 > 0 были выполнены, так как логарифмы определены только для положительных значений.

Итак, после всех вычислений и проверок, вы получите окончательный ответ на неравенство.