Как решить неравенство: log0,2 (x²+4x) > 1? (3 балла)

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифмы решение неравенства математика 11 класс log0,2 x²+4x математические задачи Новый

Для решения неравенства log_0.2(x² + 4x) > 1, сначала преобразуем его в более удобный вид. Начнем с того, что неравенство log_0.2(x² + 4x) > 1 можно переписать в экспоненциальной форме:

Шаг 1: Переписываем неравенство.

Мы знаем, что логарифм с основанием a больше 1, если аргумент больше a в степени 1. В нашем случае основание логарифма 0.2, а значит:

• x² + 4x > 0.2¹
• x² + 4x > 0.2

Шаг 2: Преобразуем неравенство.

Преобразуем неравенство:

• x² + 4x - 0.2 > 0

Шаг 3: Находим корни квадратного уравнения.

Теперь решим уравнение x² + 4x - 0.2 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-0.2) = 16 + 0.8 = 16.8

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

• x₁ = (-b + √D) / 2a = (-4 + √16.8) / 2 = (-4 + 4.1) / 2 ≈ 0.05
• x₂ = (-b - √D) / 2a = (-4 - √16.8) / 2 = (-4 - 4.1) / 2 ≈ -4.05

Шаг 4: Анализируем знаки.

Теперь мы должны определить, на каких интервалах выражение x² + 4x - 0.2 > 0. У нас есть корни x₁ ≈ 0.05 и x₂ ≈ -4.05. Разделим числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -4.05)
• (-4.05, 0.05)
• (0.05, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из интервалов:

• Для интервала (-∞, -4.05): возьмем, например, x = -5. Подставляем: (-5)² + 4*(-5) - 0.2 = 25 - 20 - 0.2 = 4.8 > 0.
• Для интервала (-4.05, 0.05): возьмем, например, x = 0. Подставляем: 0² + 4*0 - 0.2 = -0.2 < 0.
• Для интервала (0.05, +∞): возьмем, например, x = 1. Подставляем: 1² + 4*1 - 0.2 = 1 + 4 - 0.2 = 4.8 > 0.

Шаг 5: Записываем ответ.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

• (-∞, -4.05) и (0.05, +∞).

Ответ: x ∈ (-∞, -4.05) ∪ (0.05, +∞).