Чтобы решить неравенство log 0,2 (x² + 4x) > 1, следуем следующим шагам:

1. Перепишем неравенство в экспоненциальной форме. Поскольку основание логарифма 0,2 меньше 1, знак неравенства изменится при переходе к экспоненциальной форме. Таким образом, мы получаем:
• x² + 4x < 0,2^1
2. Упростим правую часть. Поскольку 0,2^1 = 0,2, мы можем записать неравенство так:
• x² + 4x < 0,2
3. Переносим 0,2 в левую часть неравенства:
• x² + 4x - 0,2 < 0
4. Решим квадратное уравнение x² + 4x - 0,2 = 0 с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-0,2) = 16 + 0,8 = 16,8.
• Теперь находим корни уравнения:
• x1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-4 ± √16,8) / 2.
5. Вычислим корни:
• √16,8 ≈ 4,1 (приблизительно).
• x1 = (-4 + 4,1) / 2 ≈ 0,05.
• x2 = (-4 - 4,1) / 2 ≈ -4,05.
6. Теперь мы имеем корни x1 ≈ 0,05 и x2 ≈ -4,05. Находим промежутки, где функция x² + 4x - 0,2 < 0. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:
• (-∞, -4,05)
• (-4,05, 0,05)
• (0,05, +∞)
7. Проверим знак функции на каждом из интервалов.
• Для x < -4,05 (например, x = -5):
• (-5)² + 4*(-5) - 0,2 = 25 - 20 - 0,2 = 4,8 > 0.
• Для -4,05 < x < 0,05 (например, x = 0):
• 0² + 4*0 - 0,2 = -0,2 < 0.
• Для x > 0,05 (например, x = 1):
• 1² + 4*1 - 0,2 = 1 + 4 - 0,2 = 4,8 > 0.
8. Таким образом, функция x² + 4x - 0,2 < 0 на промежутке:
• (-4,05, 0,05).

Ответ: Решение неравенства log 0,2 (x² + 4x) > 1 — это промежуток (-4,05, 0,05).