Для решения неравенства log_0,5(3x + 0,5) + log_0,5(x - 2) > -2 следуем следующим шагам:

1. Используем свойства логарифмов. Мы знаем, что log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c). Таким образом, можем объединить два логарифма в один:
• log_0,5((3x + 0,5)(x - 2)) > -2
2. Переписываем неравенство в экспоненциальной форме. Логарифм с основанием 0,5 является убывающей функцией, поэтому:
• (3x + 0,5)(x - 2) < 0,5^-2
• 0,5^-2 = 4, следовательно:
• (3x + 0,5)(x - 2) < 4
3. Переносим все в одну сторону. Получаем:
• (3x + 0,5)(x - 2) - 4 < 0
4. Раскрываем скобки. Умножим:
• 3x² - 6x + 0,5x - 1 - 4 < 0
• 3x² - 5,5x - 5 < 0
5. Находим корни квадратного уравнения. Для этого используем дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-5,5)² - 4 * 3 * (-5).
• D = 30,25 + 60 = 90,25.
6. Находим корни:
• x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)
• x_1,2 = (5,5 ± √90,25) / 6
• √90,25 = 9,5.
• x₁ = (5,5 + 9,5) / 6 = 15 / 6 = 2,5
• x₂ = (5,5 - 9,5) / 6 = -4 / 6 = -0,67.
7. Определяем промежутки. Теперь у нас есть корни x₁ = 2,5 и x₂ = -0,67. Мы должны проверить знак выражения (3x² - 5,5x - 5) на промежутках:
• (-∞, -0,67)
• (-0,67, 2,5)
• (2,5, +∞)
8. Проверяем знак в каждом промежутке. Например, выбираем тестовые точки:
• x = -1 (в промежутке (-∞, -0,67))
• x = 0 (в промежутке (-0,67, 2,5))
• x = 3 (в промежутке (2,5, +∞))
9. Подставляем тестовые точки:
• Для x = -1: 3*(-1)² - 5,5*(-1) - 5 = 3 + 5,5 - 5 = 3,5 > 0
• Для x = 0: 3*(0)² - 5,5*(0) - 5 = -5 < 0
• Для x = 3: 3*(3)² - 5,5*(3) - 5 = 27 - 16,5 - 5 = 5,5 > 0
10. Записываем ответ: Мы ищем, где выражение меньше нуля, это происходит на промежутке (-0,67, 2,5). Но не забываем учитывать область определения логарифмов:
• 3x + 0,5 > 0 → x > -0,17
• x - 2 > 0 → x > 2
11. Таким образом, окончательный ответ: x ∈ (2, 2,5).

Теперь вы знаете, как решать это неравенство шаг за шагом!