Как решить неравенство

log0,5(3x+0,5)+log0,5(0,25x+3)>-2?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство решение неравенства логарифмы математика log0,5 3x 0,25x математические операции алгебра Новый

Для решения неравенства log_0,5(3x+0,5) + log_0,5(0,25x+3) > -2 начнем с использования свойств логарифмов.

Первое, что мы можем сделать, это применить свойство логарифмов, которое гласит, что log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c). В нашем случае это позволит объединить два логарифма:

• log_0,5((3x + 0,5) * (0,25x + 3)) > -2

Теперь мы можем преобразовать неравенство, используя определение логарифма. Напомним, что log_a(b) > c эквивалентно b > a^c. В нашем случае это будет:

• (3x + 0,5) * (0,25x + 3) > 0,5^-2

Теперь вычислим 0,5^-2:

• 0,5^-2 = 1 / (0,5²) = 1 / 0,25 = 4

Таким образом, наше неравенство преобразуется в:

• (3x + 0,5) * (0,25x + 3) > 4

Теперь раскроем скобки:

• 3x * 0,25x + 3 * 3 + 0,5 * 0,25x + 0,5 * 3 > 4
• 0,75x² + 9 + 0,125x + 1.5 > 4
• 0,75x² + 0,125x + 10.5 > 4

Теперь перенесем 4 на левую сторону:

• 0,75x² + 0,125x + 6.5 > 0

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство. Для этого найдем дискриминант:

• D = b² - 4ac = (0,125)² - 4 * 0,75 * 6.5
• D = 0,015625 - 19.5
• D < 0

Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, парабола, соответствующая нашему квадратному неравенству, не пересекает ось абсцисс.

Так как коэффициент при x² положительный (0,75), то парабола открыта вверх, и все значения функции будут положительными. То есть:

• 0,75x² + 0,125x + 6.5 > 0 для всех x.

Таким образом, решением нашего неравенства будет:

x ∈ R

Это означает, что неравенство выполняется для всех действительных чисел x.