Чтобы решить неравенство log_0,5(x² + x) ≥ -1, начнем с преобразования логарифмического неравенства в более удобную форму.

Первым шагом будет преобразование неравенства в экспоненциальную форму. Мы знаем, что если log_a(b) = c, то b = a^c. В нашем случае:

x² + x ≥ 0,5^-1

Теперь вычислим 0,5^-1:

• 0,5^-1 = 2

Таким образом, мы преобразовали неравенство к следующему виду:

x² + x ≥ 2

Теперь перенесем 2 в левую часть неравенства:

x² + x - 2 ≥ 0

Теперь нужно решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

x² + x - 2 = 0

Используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Корни уравнения можно найти по формуле:

• x_1,2 = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения:

• x₁ = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1
• x₂ = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь у нас есть корни x₁ = 1 и x₂ = -2. Квадратное неравенство x² + x - 2 ≥ 0 будет выполняться в следующих интервалах:

• (-∞, -2]
• [1, +∞)

Теперь нужно проверить, что выражение x² + x положительно или равно нулю в этих интервалах. Это можно сделать, подставив тестовые значения из каждого интервала:

• Для x = -3 (из интервала (-∞, -2]): (-3)² + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 ≥ 0 (выполняется)
• Для x = 0 (из интервала (-2, 1)): (0)² + 0 - 2 = -2 < 0 (не выполняется)
• Для x = 2 (из интервала [1, +∞)): (2)² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 ≥ 0 (выполняется)

Итак, окончательный ответ для неравенства log_0,5(x² + x) ≥ -1:

x ∈ (-∞, -2] ∪ [1, +∞)