Решим неравенство sin²x - 2sinx < 0. Начнем с преобразования данного неравенства.

1. Обозначим sinx через переменную y, то есть y = sinx. Тогда наше неравенство принимает вид:

   y² - 2y < 0

2. Решим это квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

   y² - 2y = 0

   Это можно разложить на множители:

   y(y - 2) = 0

   Отсюда получаем корни: y = 0 и y = 2.

3. Теперь определим знаки выражения y² - 2y на интервалах, которые получаются из найденных корней: (-∞, 0), (0, 2), (2, ∞).

   • На интервале (-∞, 0) выберем тестовую точку, например, y = -1. Подставляем в выражение: (-1)² - 2(-1) = 1 + 2 = 3, что больше нуля.
   • На интервале (0, 2) выберем тестовую точку, например, y = 1. Подставляем в выражение: 1² - 2(1) = 1 - 2 = -1, что меньше нуля.
   • На интервале (2, ∞) выберем тестовую точку, например, y = 3. Подставляем в выражение: 3² - 2(3) = 9 - 6 = 3, что больше нуля.

   Таким образом, выражение y² - 2y < 0 на интервале (0, 2).

4. Теперь вернемся к переменной x. Поскольку y = sinx, то получаем:

   0 < sinx < 2

   Однако, поскольку значение синуса ограничено интервалом [-1, 1], то фактически нас интересует интервал:

   0 < sinx ≤ 1

5. Рассмотрим, при каких значениях x выполняется 0 < sinx ≤ 1. Это происходит в следующих интервалах:

   x принадлежит интервалам (2πk, π/2 + 2πk), где k - целое число.

Таким образом, решение неравенства sin²x - 2sinx < 0 заключается в интервалах:

(2πk, π/2 + 2πk), где k - целое число.