Как решить неравенство Tg^2x < 1 (тангенс в квадрате x) подробно, с рисунком и ответом?

Математика 11 класс Неравенства тригонометрических функций решение неравенства тангенс в квадрате Tg^2x < 1 подробное решение график решения математика 11 класс Новый

Для решения неравенства Tg^2x < 1, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Переписываем неравенство

Неравенство Tg^2x < 1 можно переписать в более удобной форме:

• Tg^2x - 1 < 0

Шаг 2: Замена переменной

Введем замену: пусть y = Tg(x). Тогда неравенство принимает вид:

• y^2 - 1 < 0

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство

Теперь рассмотрим неравенство y^2 - 1 < 0. Это неравенство можно факторизовать:

• (y - 1)(y + 1) < 0

Теперь найдем нули этого произведения:

• y - 1 = 0 → y = 1
• y + 1 = 0 → y = -1

Теперь у нас есть два критических значения: y = -1 и y = 1. Мы будем исследовать знак произведения (y - 1)(y + 1) на интервалах, определяемых этими значениями:

Шаг 4: Исследуем знаки

Рассмотрим интервалы:

• (-∞, -1)
• (-1, 1)
• (1, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из интервалов:

• Для y < -1 (например, y = -2): (y - 1)(y + 1) = (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 > 0
• Для -1 < y < 1 (например, y = 0): (y - 1)(y + 1) = (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1 < 0
• Для y > 1 (например, y = 2): (y - 1)(y + 1) = (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3 > 0

Таким образом, неравенство (y - 1)(y + 1) < 0 выполняется на интервале:

• (-1, 1)

Шаг 5: Возвращаемся к тангенсу

Теперь вспомним, что y = Tg(x). Мы получили, что -1 < Tg(x) < 1. Это означает, что:

• -1 < Tg(x) < 1

Шаг 6: Найдем значения x

Тангенс принимает значения от -1 до 1 в следующих интервалах:

• Для Tg(x) = -1: x = -π/4 + kπ, где k - целое число.
• Для Tg(x) = 1: x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, неравенство Tg(x) < 1 выполняется в интервале:

• (-π/4 + kπ, π/4 + kπ) для любого целого k.

Ответ: Решение неравенства Tg^2x < 1: x принадлежит интервалам (-π/4 + kπ, π/4 + kπ), где k - целое число.